Sujet national, juin 2014, exercice 7

Énoncé

7 points
Un agriculteur produit des bottes de paille parallélépipédiques.
Sujet national, juin 2014, exercice 7 - illustration 1
Information 1 : Dimensions des bottes de paille : 90 cm × 45 cm × 35 cm.
Information 2 : Le prix de la paille est de 40 € par tonne.
Information 3 : 1 m3 de paille a une masse de 90 kg.
1. 
Justifier que le prix d'une botte de paille est 0,51 € (arrondi au centime).
Calculez le volume d'une botte de paille, puis sa masse et enfin son prix.
2. 
Marc veut refaire l'isolation de la toiture d'un bâtiment avec des bottes de paille parallélépipédiques. Le bâtiment est un prisme droit dont les dimensions sont données sur le schéma ci-dessous.
Sujet national, juin 2014, exercice 7 - illustration 2
Il disposera les bottes de paille sur la surface correspondant à la zone grisée, pour créer une isolation de 35 cm d'épaisseur. Pour calculer le nombre de bottes de paille qu'il doit commander, il considère que les bottes sont disposées les unes contre les autres. Il ne tient pas compte de l'épaisseur des planches entre lesquelles il insère les bottes.
a) 
Combien de bottes devra-t-il commander ?
Il s'agit tout d'abord de calculer la longueur JF, puis de calculer le nombre de rectangles de 90 cm sur 45 cm que l'on peut mettre dans le rectangle FGKJ.
b) 
Quel est le coût de la paille nécessaire pour isoler le toit ?
Utilisez les questions 1 et 2. a).

Corrigé

1. 
À l'aide de l'information 1 :
Le volume d'une botte de paille est V = 90 × 45 × 35 = 141 750 cm3 = 141,750 dm3 = 0,141750 m3.
À l'aide de l'information 3 :
1 m3 de paille a une masse de 90 kg donc une botte de paille pèse 90 × 0,141750 = 12,7575 kg.
À l'aide de l'information 2 :
Le prix de la botte de paille est de 40 € par tonne (1 000 kg), donc le prix d'une botte de paille est de \frac{40\times 12,7575}{1~000}\frac{510,3}{1~000} = 0,51 € au centime près.
2. 
a) 
Calculons la longueur JF.
Le triangle FIJ est rectangle en I, donc d'après le théorème de Pythagore :
JF2 = IJ2 + IF2 = (AJ − IA)2 + IF2 = (7,7 − 5)2 + 3,62 = 2,72 + 12,96 = 7,29 + 12,96 = 20,25.
JF est un nombre positif car c'est une distance donc JF = \sqrt{20,25} = 4,5 m.
Dans la longueur JK = 15,3 m, il y a \frac{15,3}{0,9} = 17 fois la longueur 90 cm = 0,9 m.
Dans la longueur JF = 4,5 m, il y a \frac{4,5}{0,45} = 10 fois la longueur 45 cm = 0,45 m.
Finalement, Marc devra commander 17 × 10 = 170 bottes de paille pour refaire son isolation.
b) D'après la question 1., chaque botte de paille coûte 0,51 €.
D'après la question 2. a), Marc a besoin de 170 bottes de paille pour refaire son isolation.
Finalement, le coût de la paille nécessaire pour isoler le toit est 170 × 0,51 = 86,7 €.