Suites arithmétiques et suites géométriques

Certaines suites ont des propriétés particulières, comme les suites arithmétiques et les suites géométriques.
De telles suites sont définies par récurrence, mais on peut calculer leur terme général en fonction du rang, ainsi que la somme des premiers termes.
C'est pourquoi les suites arithmétiques et les suites géométriques interviennent dans de nombreux domaines tels l'économie ou les sciences physiques ; ces suites s'appliquent en effet aux placements de capitaux à intérêts simples ou composés, aux désintégrations de substances radioactives, etc.

1. Comment montrer qu'une suite est ou n'est pas arithmétique ou géométrique ?

• Une suite arithmétique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par l'addition d'un réel constant (appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (U_n) est arithmétique, on montre que, pour tout $n \in$ Ensemble N

, la différence $U_{n + 1} - U_n$ est constante (c'est-à-dire ne dépend pas de n).
Pour montrer qu'une suite (U_n) n'est pas arithmétique, il suffit de calculer les 3 premiers termes U₀, U₁ et U₂ (ou parfois les 4 ou 5 premiers, si les 3 premiers ne suffisent pas) et de constater que $U_2 - U_1 \ne U_1 - U_0$ .

• Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (V_n) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, $V_{n + 1} = q \times V_n$ .
Pour montrer qu'une suite (V_n) n'est pas géométrique, il suffit de calculer les 3 (voire les 4 ou 5) premiers termes V₀, V₁ et V₂ et de constater que, si $V_1 \ne 0$ et $V_0 \ne 0$ , $\frac{{V_2 }}{{V_1 }} \ne \frac{{V_1 }}{{V_0 }}$ .
Exercice n°1 Exercice n°2

2. Quel est le terme général d'une suite arithmétique ? D'une suite géométrique ?

• Si r est la raison d'une suite arithmétique (U_n) et U_p l'un de ses termes, alors, pour tout $n~\in$ Ensemble N

, $U_n = U_p + \left( {n - p} \right)r$ .
Les cas particuliers où le premier terme est U₀ ou U₁ sont fréquents. On a alors : U_n = U_0 + nr

ou $U_n = U_1 + \left( {n - 1} \right)r$ .

• Si q est la raison d'une suite géométrique (V_n) et V_p est l'un de ses termes, alors, pour tout $n~\in$ Ensemble N

, $V_n = V_p \times q^{\left( {n - p} \right)}$ .
Les cas particuliers où le premier terme est V₀ ou V₁ sont fréquents. On a alors $V_n = V_0 \times q^n$ ou $V_n = V_1 \times q^{(n - 1)}$ .
Exercice n°3

3. Quelle est la somme des premiers termes d'une suite arithmétique ? Celle des premiers termes d'une suite géométrique ?

• Démonstration :
Soit k un entier naturel supérieur à 1.
Soit S = 1 + 2 + 3 + … + (k−2) + (k−1) + k. S comporte k termes.
On a aussi S = k + (k − 1) + (k − 2) + … + 3 + 2 + 1.
En effectuant la somme on obtient :
2S = (1 + k) + (2 + k − 1) + (3 + k − 2) + … + (k-2 + 3) + (k − 1 + 2) + (k + 1).
On remarque que 2S est composé de k termes tous égaux à k + 1, d'où :
2S = k × (k + 1)
Donc $\textit{S}= \frac{\textit{k}\times (\textit{k}+1)}{2}$

• Soit (V_n) une suite géométrique de raison q. La somme S' des premiers termes de cette suite est donnée par la formule :
$S' = \left( {{\rm{1}}^{{\rm{er}}}~{\rm{terme}}} \right) \times \left( {{\rm{nombre~de~termes}}} \right)$ , si q = 1

et $S' = \left( {{\rm{1}}^{{\rm{er}}} {\rm{terme}}} \right) \times \left( {\frac{{1 - q^{\left( {{\rm{nombre~de~termes}}} \right)} }}{{1 - q}}} \right)$ , si $q \ne 1$ .
Exercice n°4 Exercice n°5 Exercice n°6

4. Quels algorithmes sont à connaître ?

• Calculer un terme d'une suite arithmétique de premier terme U et de raison -9.

•

Déterminer le plus petit entier naturel n tel que U_n soit inférieur ou égal à s.

• calcul de factorielle n.

À retenir

• Une suite (U_n) est arithmétique si la différence de deux termes consécutifs quelconques est constante, c'est-à-dire s'il existe un réel r indépendant de n tel que, pour tout $n \in$ Ensemble N

, $U_{n + 1} = U_n + r$ . Dans ce cas, pour tout $n \in$ Ensemble N

et $p \in$ Ensemble N

, $U_n = U_p + \left( {n - p} \right)r$ . Et la somme S des premiers termes de cette suite est donnée par la formule : $S = \left( {\frac{{{\rm{1}}^{{\rm{er}}} {\rm{terme}} + {\rm{dernier~terme}}}}{2}} \right) \times \left( {{\rm{nombre~de~termes}}} \right)$ .

• Une suite (V_n) est géométrique s'il existe un réel q constant tel que, pour tout $n \in$ Ensemble N

, $V_{n + 1} = qV_n$ . Dans ce cas, pour tout $n \in$ Ensemble N

et $p \in$ Ensemble N

, $V_n = V_p \times q^{(n - p)}$ . Et la somme S' des premiers termes de cette suite est donnée par la formule :
– si q = 1

, $S' = \left( {{\rm{1}}^{{\rm{er}}} {\rm{terme}}} \right) \times \left( {{\rm{nombre~de~termes}}} \right)$ ;
– si $q \ne 1$ , $S' = \left( {{\rm{1}}^{{\rm{er}}} {\rm{terme}}} \right) \times \left( {\frac{{1 - q^{\left( {nombre~de~termes} \right)} }}{{1 - q}}} \right)$ .