Variables aléatoires réelles (2)

L'essentiel du cours

Dans toute cette fiche, on note X une variable aléatoire sur un univers Ω dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

x_i	x₁	x₂	…	x_n
P(X = x_i)	p₁	p₂	…	p_n

Définition 1

L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est le réel noté E(X) et défini par :
E(X) = p₁x₁ + p₂x₂ + … + p_nx_n
On peut aussi écrire cette définition : $E\left ( X \right )\, =\, \sum \, _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}$ .
Remarque : L'espérance mathématique a la même unité que celle des valeurs x_i.

Exemple

On considère une variable aléatoire Z dont la loi de probabilité est donnée par le tableau :

z_i	−5	0	5	20
P(Z = z_i)	0,5	0,2	0,2	0,1

Dans ce cas, on a : E(X) = 0,5 × (−5) + 0,2 × 0 × 0,2 × 5 × 0,1 × 20 = 0,5.

Interprétation

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire peut s'interpréter comme la valeur moyenne des valeurs prises par X lorsque l'expérience aléatoire est répétée un très grand nombre de fois (ce à quoi on peut s'attendre en réalisant cette expérience).
Dans le cas d'un jeu d'argent, l'espérance indique la valeur moyenne que le joueur peut espérer gagner s'il joue un grand nombre de fois (dans les mêmes conditions à chaque fois) :

Si l'espérance du gain est négative, le jeu défavorise le joueur.
Si l'espérance est nulle, le jeu est équitable.
Si l'espérance est positive, le jeu favorise le joueur.

Définition 2

La variance de la variable aléatoire X est le réel positif tel que :
V(X) = p₁(x₁ − E(X))² + p₂(x₂ − E(X))² + … + p_n(x_n − E(X))²
On peut aussi écrire cette définition : $V\left ( X \right )\, =\, \sum \, _{i=1}^{n}p_{i}\left (x_{i}\, -\, E\left ( X \right ) \right )^{2}$ .

Exemple

En utilisant la variable Z définie à l'exemple précédent, on a :
V(Z) = 0,5 × (−5 − 0,5)² + 0,2 × (0 − 0,5)² + 0,2 × (5 − 0,5)² + 0,1 × (20 − 0,5)² = 57,25.

Définition 3

L'écart-type de la variable aléatoire X est le réel noté σ(X) tel que : $\sigma \left ( X \right )\, =\, \sqrt{V\left ( X \right )}$ .

Exemple

En utilisant la variable Z définie à l'exemple précédent, on a : $\sigma \left ( Z \right )\, =\, \sqrt{V\left ( Z \right )}\, =\, \sqrt{57,25}\, \simeq \, 7,57$ .

Interprétation

La variance et l'écart-type d'une variable aléatoire mesurent la dispersion des valeurs prises par la variable autour de son espérance. Cela permet de se donner une idée de la répartition des valeurs prises par une variable autour de sa « moyenne » (espérance) en tenant compte des probabilités des valeurs.
Ainsi, plus l'écart-type est grand, plus cela signifie que les valeurs prises par la variable aléatoire étudiée sont « éloignées » de la valeur moyenne (l'espérance).

Propriété 1

Soit a et b deux réels.
On a : E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX) = a²V(X).

Méthodes de résolution

Méthode

Pour calculer et utiliser la valeur de l'espérance d'une variable aléatoire, il faut :

connaître la loi de probabilités de la variable aléatoire étudiée ;
connaître les formules du cours pour pouvoir calculer l'espérance, li variance et l'écart-type ;
faire les calculs et interpréter ensuite les résultats obtenus.

Remarques :

Un jeu est équitable si on obtient E(X) = 0.
On peut utiliser la calculatrice pour obtenir l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire (voir fiche 27).

Exemple

Une entreprise doit entretenir la machine à café dans le hall d'une gare. Elle fait des relevés pour voir la rentabilité de la machine. Elle constate que la machine est utilisée 2 500 fois par mois en moyenne.

Parmi les boissons achetées, 40 % sont des cafés courts, 45 % sont des cafés long, 10 % sont des chocolats chauds et le reste sont des thés.
Pour l'entreprise, le coût de chaque type de boisson est de 0,20 €.
Le prix de vente des différentes boissons est : 0,70 € pour un café court, 1,20 € pour un café long, 1,30 € pour les chocolats chauds et les thés.

On note X la variable aléatoire qui modélise le bénéfice réalisé par l’entreprise pour une boisson vendue, en euros.

1. La loi de probabilité de X est donnée par le tableau :

Type de boisson	Café court	Café long	Chocolat	Thé
x_i	(0,70 − 0,20) 0,50	(1,20 − 0,20) 1	(1,30 − 0,20) 1,10	(1,30 − 0,20) 1,10
P(X = x_i)	0,40	0,45	0,10	0,05

2. L'espérance E(X) est : E(X) = 0,40 × 0,50 + 0,45 × 1 + 0,10 × 1,10 + 0,05 × 1,10 = 0,815.
Ainsi, en moyenne, l'entreprise peut espérer vendre une boisson chaude à 0,815 €.
On en conclut que le bénéfice moyen réalisé par l'entreprise en un mois sur la vente des boissons est de 2500 × 0,815 = 2037,50 €.