Équations de droites (2)

L'essentiel du cours

Décomposer un vecteur en fonction de deux vecteurs non nuls et non colinéaires

Base de deux vecteurs : dans le plan, un point et deux vecteurs non nuls et non colinéaires constituent un repère cartésien. Les deux seuls vecteurs constituent alors une base.
Propriété : tout vecteur du plan s'écrit de manière unique en fonction des deux vecteurs d'une base.
Si ( $\left ( \overrightarrow{u}\, ;\, \overrightarrow{v} \right )$ ) est une base du plan, alors tout vecteur $\overrightarrow{w}$ s'écrit de manière unique sous la forme : $\overrightarrow{w}\, =\, \overrightarrow{au}\, +\, \overrightarrow{bv}$ , avec $a\, \in \, \mathbb{R}$ et $b\, \in \, \mathbb{R}$ .
(a;b) est le couple des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{w}$ .
Exemple : soit un parallélogramme ABCD et E le symétrique de D par rapport à C.

D'après la relation de Chasles :

$\overrightarrow{AE}\, =\, \overrightarrow{AD}\, +\, \overrightarrow{DE}$ ,
$\overrightarrow{AE}\, =\, \overrightarrow{AD}\, +\, 2\overrightarrow{DC}$ ,
$\overrightarrow{AE}\, =\, \overrightarrow{AD}\, +\, 2\overrightarrow{AB}$ ,
$\overrightarrow{AE}\, =\, 2\overrightarrow{AB}\, +\, 1\overrightarrow{AD}$ ,
le vecteur $\overrightarrow{AE}$ a pour coordonnées (2 ; 1) dans la base $\left ( \overrightarrow{AB}\, ;\, \overrightarrow{AD} \right )$ ,
le point E a pour coordonnées (2 ; 1) dans le repère $\left ( A\, ;\, \overrightarrow{AB}\, ;\, \overrightarrow{AD} \right )$ .

Représentations et méthodes

Déterminer un vecteur directeur à partir d'une équation de droite

Méthode : si (D) est une droite passant par le point A et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ alors pour tout point M de la droite (D), les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.
On obtient une équation cartésienne de la forme ax + by + c = c = 0((a ; b) ≠ (0 ; 0))
Remarques : si b ≠ 0 c'est à dire lorsque la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, on peut écrire cette équation sous forme réduite : y = mx + p.
Une droite a une infinité d'équations cartésiennes, il suffit de multiplier les deux membre de l'égalité par un nombre réel différent de 0. Mais l'équation réduite est unique.
Exemple : soit la droite (D), passant par le point A(1 ; 2) et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left ( 3\, ;\, 4 \right )$ .

Déterminer par le calcul le point d'intersection de deux droites

Une équation d'une droite D peut s'écrire sous la forme ax + by = c avec a et b non simultanément nuls. Une telle équation s'appelle équation linéaire à deux inconnues. Les solutions de cette équation sont les coordonnées des points de la droite D.
Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection de deux droites revient à résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues constitué des deux équations des deux droites.
C'est un système de la forme : $\left\{\begin{matrix}ax\, +\, by\, =\, c \\{a}'x\, +\, {b}'y\, =\, {c}'\end{matrix}\right.$ .
Résoudre un tel système, c'est trouver tous les couples (x ; y) qui sont solutions des deux équations en même temps. Si de tels couples existent, les points qu'ils repèrent appartiennent aux droites d'équations respectives ax + by = c et ${a}'x\, +\, {b}'y\, =\, {c}'$ .