R et ses sous-ensembles (2)

L'essentiel du cours

Valeurs approchées

Lorsque l’on veut écrire un nombre réel dans le système décimal et que celui-ci n’est pas un nombre décimal, on doit utiliser une valeur approchée.
Par exemple, $\frac{1}{3}\, =\, 0,3333333$ . Il n’y a pas égalité car les « 3 » continuent à l’infini.
Une valeur approchée peut être définie par défaut ou par excès. On parle de valeur approchée à 10^−P près, où p est un entier, quand la différence entre le nombre et sa valeur approchée est inférieure à 10^−P.

Comparaisons

Dire que a est inférieur ou égal à b signifie que la différence b − a est positive ou nulle. On écrit que a

b est équivalent à b − a supérieur ou égal

0.
Autrement dit, pour comparer deux nombres, on se ramène à un problème de signe.
Quelques règles fondamentales à connaître :

Deux nombres ont le même signe si et seulement si leur produit est positif.
Si a > 1, alors : $\sqrt{a}\,< a\, < \, a^{2}\, < \, a^{3}$ .
Si 0 < a < 1, alors : $\sqrt{a}\, > \, a\, > \, a^{2}\, > \, a^{3}$ .
Pour tous réels a, b et c, si a b et b c, alors a c.

Les inégalités

Il s’agit de savoir comment « transformer » une inégalité à l’aide des opérations élémentaires. Ici, a, b, c et d désignent des réels quelconques.
Ajouter (ou soustraire) un nombre aux deux membres d’une inégalité conserve l’ordre. Si a inférieur ou égal

b, alors a + c inférieur ou égal

b + c.
Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement positif conserve l’ordre. Sia inférieur ou égal

b et k > 0, alors ka inférieur ou égal

kb.
Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement négatif change l’ordre. Si a inférieur ou égal

b et k < 0, alors ka supérieur ou égal

kb.
Ajouter membre à membre deux inégalités de même sens donne une inégalité de même sens. Si a inférieur ou égal

b et c

d, alors a + c inférieur ou égal

b + d.
Si les nombres sont positifs, multiplier membre à membre deux inégalités de même sens, donne une inégalité de même sens. Si 0 < a inférieur ou égal

b et 0 < c inférieur ou égal

d, alors ac inférieur ou égal

bd.

Représentations et méthodes

Valeurs approchées

Pour déterminer la valeur approchée d’un nombre réel positif à n décimales :

par défaut, on effectue la troncature à n décimales de ce nombre (cela revient à supprimer les décimales qui suivent les n premières décimales) ;
par excès, on prend la valeur approchée par défaut et on ajoute 1 à la dernière décimale (cela revient à ajouter 10⁻n à la valeur approchée par défaut).

Pour déterminer la valeur approchée d’un nombre réel négatif à n décimales :

par excès, on effectue la troncature à n décimales de ce nombre ;
par défaut, on prend la valeur approchée par excès et on ajoute 1 à la dernière décimale.

Pour calculer l’arrondi d’un nombre réel à n décimales, on considère la troncature du nombre à n décimales, puis :

si la n+1-ième décimale est 0, 1, 2, 3 ou 4, alors l’arrondi est la troncature ;
si la n+1-ième décimale du nombre réel est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors on obtient l’arrondi en ajoutant 1 à la dernière décimale de la troncature.

Comparaisons

Pour comparer :

deux nombres a et b : on étudie le signe de leur différence ;
deux fractions : on les réduit à un même dénominateur positif et on compare leurs numérateurs comme indiqué ci-dessus ;
deux radicaux : on peut comparer leurs carrés.