Viscosimètre à chute de bille, sujet de métropole, juin 2025, exercice 3

Énoncé

Exercice sur 5 points
Certains équipements mécaniques, comme les moteurs, nécessitent l'utilisation d'huiles de valeur de viscosité contrôlée pour pouvoir fonctionner correctement.
Le but de cet exercice est d'étudier le principe de fonctionnement d'un viscosimètre à chute de bille permettant de mesurer, à température ambiante, la viscosité d'une huile appelée « huile C ».

Viscosimètre à chute de bille KF40 Brookfields®
La mesure de la viscosité de l'huile C repose sur l'exploitation de la chute verticale d'une bille en acier dans un récipient cylindrique, rempli de cette huile, représenté sur la figure 1. Le mouvement du centre de masse de la bille est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni d'un repère d'origine O, d'axe vertical (Oz) orienté vers le bas et de vecteur unitaire $\vec{\mathit{k}}$ . La situation est schématisée sur la figure 1.

Données :

Les données numériques de cet exercice proviennent de travaux réalisés à l'université de Grenoble.

masse volumique de l'huile C : $\mathrm{\rho} _{\mathrm{h}}\, =\, 8,31\, \times \, 10^{2}\, \mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^{-3}$ ;
masse volumique de la bille : $\mathrm{\rho} _{\mathrm{b}}\, =\, 1,06\, \times \, 10^{3}\, \mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^{-3}$ ;
rayon de la bille : r = 0,993 mm ;
intensité de la pesanteur terrestre : $\mathrm{g}\, =\, 9,81\, \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$ ;
volume d'une bille de rayon r : $\mathit{V}_{\mathrm{b}}=\frac{4}{3}\cdot \mathrm{\pi} \cdot \mathrm{r}^{3}$ ;
pour discuter de l'accord du résultat d'une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient $\frac{\left | \mathit{x}-\mathit{x}_{\mathrm{ref}}\right | }{\mathrm{u}(\mathit{x})}$ avec x la valeur mesurée, x_ref la valeur de référence et u(x) l'incertitude-type associée à la valeur mesurée x.

Lors de sa chute verticale dans l'huile C, la bille de masse m est soumise à trois forces :

son poids noté $\vec{\mathit{P}}$ ;
la poussée d'Archimède, exercée par l'huile, d'expression vectorielle $\overrightarrow{\mathit{P}_{\mathit{A}}}=-\mathrm{\rho} _{\mathrm{h}}\cdot \mathit{V}_{\mathrm{b}}\cdot \mathit{g}\cdot \vec{\mathit{k}}$ ;
la force de frottement exercée par l'huile sur la bille, d'expression vectorielle dans les conditions de l'expérience : $\vec{\mathit{f}}\, =\, -\alpha \, \cdot \, \mathrm{\eta} _{\mathrm{c}}\, \cdot \, \mathit{\nu} \, \cdot \, \vec{\mathit{k}}$ avec α une constante homogène à une distance, dépendant des paramètres géométriques du système, η_C la viscosité de l'huile C et ν la valeur de la vitesse du centre de masse de la bille. On donne α = 1,92 × 10⁻² m.

Q1. Montrer, à l'aide d'un raisonnement sur les unités, que la viscosité η_C s'exprime en $\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^{-2}\cdot \mathrm{s}$ .
À la date t = 0, la bille est lâchée avec une vitesse initiale nulle depuis le point O, situé dans l'huile, en haut du récipient cylindrique. Au bout de quelques instants, le mouvement de la bille devient rectiligne uniforme, la bille atteint alors une vitesse limite notée v_lim.
Q2. Préciser, en justifiant, si la valeur de la force de frottement $\vec{\mathit{f}}$ augmente ou diminue quand la valeur de la vitesse de la bille augmente.
Q3. Représenter sur un schéma, sans calcul et en justifiant, l'ensemble des forces appliquées au système {bille}, lorsque la vitesse limite est atteinte.
Q4. Montrer que la vitesse limite vérifie l'équation :
$\, \alpha \, \cdot \, \eta _{c}\cdot \nu _{lim}\, =\, \frac{4\, \cdot \pi \cdot r^{3}\, \cdot\, g\, \cdot \, (\rho _{b}-\rho _{h})}{3}$
Q5. La valeur limite de la vitesse de la bille vaut $\mathit{\nu} _{\mathrm{lim}}\, =\, 5,37\, \mathrm{mm}\cdot \mathrm{s}^{-1}$ . Calculer la valeur de la viscosité η_C de l'huile C.
L'huile C a une viscosité de référence qui vaut $\mathit{\eta } _{\mathrm{r\acute{e}f}}\, =\, 0,093\, \mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^{-2}\cdot \mathrm{s}$ et l'incertitude-type sur la valeur de la viscosité η_C obtenue vaut $\mathrm{u}(\eta _{\mathrm{C}})\, =\, 0,003\, \mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^{-2}\cdot \mathrm{s}$ .
Q6. Déterminer si la valeur de la viscosité η_C obtenue expérimentalement est en accord avec la valeur de référence.
On souhaite déterminer la durée nécessaire pour que la bille, lâchée avec une vitesse initiale nulle, atteigne sa vitesse limite.
Q7. Le vecteur accélération $\vec{\mathit{a}}$ du centre de masse de la bille s'écrit : $\vec{\mathit{a}}\, =\, \mathit{a}\, \cdot \, \vec{\mathit{k}}$ . À l'aide de la deuxième loi de Newton, montrer que l'accélération a peut s'écrire :
$\mathit{a}\, =\, \mathit{g}\, \cdot \, \left ( 1\, -\, \frac{\mathrm{\rho} _{h}\cdot\nu _{b}}{\mathit{m}} \right )\, -\, \frac{\mathrm{\alpha} \cdot\, \mathrm{\eta} _{c}}{\mathit{m}}\, \cdot \, \mathrm{v}$ où m est la masse de la bille
Q8. En déduire que l'évolution de la coordonnée v du vecteur vitesse $\vec{\mathit{\nu }}$ de chute de la bille au cours du temps obéit à l'équation différentielle suivante :
$\frac{\mathit{dv}}{\mathit{dt}}\, +\, \frac{3\, \cdot \, \alpha \, \cdot \, \eta _{\mathit{c}}}{4\, \cdot \, \rho _{\mathit{b}}\, \cdot \pi \, \cdot \, \mathit{r}^{3}}\, \cdot \, \nu \, =\, \mathit{g}\, \cdot \, \left ( 1\, -\, \frac{\rho _{\mathit{h}}}{\rho _{\mathit{b}}} \right )$
Si la bille est abandonnée avec une vitesse initiale nulle, la résolution de l'équation différentielle précédente permet d'obtenir l'expression de sa vitesse v(t) :
$\nu (\mathit{t})\, =\, \nu _{lim}\, \cdot \, \left ( 1\, -\, \mathrm{e^{-\frac{t}{\tau }}} \right )$ avec $\tau \, =\, \frac{4\cdot \rho_{\mathrm{b}} \cdot \mathrm{\pi} \cdot r^{3}}{3\cdot \mathrm{\alpha} \cdot \mathrm{\eta} _{\mathrm{c}}}$
Q9. Calculer la valeur de τ en utilisant la valeur de la viscosité de référence de l'huile étudiée. Justifier que l'on peut considérer que la vitesse de la bille est pratiquement égale à sa valeur limite durant tout le mouvement sachant que le tube du viscosimètre a une hauteur d'environ 15 cm.

Corrigé

Q1.

Il faut utiliser l'expression de la norme de la force de frottement indiquée dans les données, isoler la viscosité et remplacer les termes par leurs unités.

D'après l'énoncé, on a :
$\left\| \vec{\mathit{f}}\right\| \, =\, \mathrm{\alpha} \, \cdot \, \mathrm{\eta} _{\mathit{c}}\, \cdot \, \mathit{\nu }$
Donc, $\mathrm{\eta} _{\mathit{c}}\, =\, \frac{\left\| \vec{\mathit{f}}\right\| }{\mathit{\alpha} \, \cdot \, \mathit{\nu} }$
En remplaçant par les unités, on obtient :
$\left [ \mathit{\eta} _{\mathit{c}} \right ]\, =\, \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}\, \cdot \, \mathrm{m}\, \cdot\, \mathrm{s^{-1}}}\, =\, \mathrm{N}\, \cdot \, \mathrm{m}^{-2}\, \cdot \, \mathrm{s}$

Q2.

Il faut utiliser à nouveau l'expression de la norme de la force de frottement et regarder la relation de proportionnalité avec la vitesse.

L'expression de la valeur de la force est : $\left\| \vec{\mathit{f}}\right\| \, =\, \mathit{\alpha} \, \cdot \, \mathit{\eta} _{\mathit{c}}\, \cdot \, \mathit{\nu }$ . Donc $\left\| \vec{\mathit{f}}\right\|$ est proportionnelle à la vitesse ν. La valeur de la force de frottement augmente donc quand la vitesse augmente.

Q3.

Il s'agit ici d'utiliser le fait que les forces se compensent si le mouvement est rectiligne uniforme (principe d'inertie), c'est-à-dire que la somme de ces forces est nulle. Il faut ensuite projeter l'expression vectorielle de ces forces sur l'axe z Les forces sont représentées par des vecteurs, sans souci d'échelle. Les deux vecteurs $\vec{\mathit{f}}$ et $\overrightarrow{\mathit{P}_{\mathit{A}}}$ doivent, en s'additionnant, avoir la même longueur que le vecteur $\vec{\mathit{P}}$ .

• On assimile le système à un point. Le bilan des forces est le suivant :
$\vec{\mathit{f}}\, =\, -\, \mathit{\alpha} \, \cdot \, \mathit{\eta} _{c}\, \cdot \, \mathit{\nu} \, \cdot \, \vec{\mathit{k}}$ donc la force de frottement est verticale ascendante ;

• $\overrightarrow{\mathit{P}_{\mathit{A}}}\, =\, -\, \mathrm{\rho} _{h}\, \cdot \, \mathit{V_{\mathrm{b}}}\, \cdot \, \mathit{g}\, \cdot \, \vec{\mathit{k}}$ donc la poussée d'Archimède est verticale ascendante ;

• le poids $\vec{\mathit{P}}$ est vertical descendant.

Lorsque la vitesse limite est atteinte, le mouvement est rectiligne uniforme, donc les forces se compensent : $\vec{\mathit{f}}\, +\, \overrightarrow{\mathit{P}_{\mathit{A}}}\, +\, \vec{\mathit{P}}\, =\, \vec{0}$ .
En projetant selon l'axe (O_z), on obtient − f − P_A + P = 0, c'est-à-dire P = P_A + f.

Q4.

Il faut utiliser l'expression de la masse volumique $\mathrm{\rho} \, =\, \frac{\mathit{m}}{\mathit{V}}$ et l'expression du volume de la bille fournie.

Le mouvement est rectiligne uniforme quand la bille atteint la vitesse limite, donc les forces se compensent :
$\vec{\mathit{f}}\, +\, \overrightarrow{\mathit{P}_{\mathit{A}}}\, +\, \vec{\mathit{P}}\, =\, \vec{0}$
On projette sur l'axe (Oz) :
$-\, \mathit{f}\, -\, \mathit{P}_{\mathit{A}}\, +\, \mathit{P}\, =\, 0$
$-\, \alpha \, \cdot \, \mathrm{\eta}_{\mathit{c}} \, \cdot \, \mathrm{\nu} _{\mathrm{lim}}\, -\, \mathrm{\rho} _{\mathit{h}}\, \cdot \, \mathit{V}_{\mathit{b}}\, \cdot \, \mathit{g}\, +\, \mathit{m}\, \cdot \, \mathit{g}\, =\, 0$
$\mathrm{\alpha} \, \cdot \, \mathrm{\eta}_{\mathit{c}} \, \cdot \, \mathrm{\nu} _{\mathrm{lim}}\, =\, \mathit{m}\, \cdot \, \mathit{g}\, -\, \mathrm{\rho }_{\mathit{h}}\, \cdot \, \mathit{V_{b}}\, \cdot \, \mathit{g}$
Or $\mathit{m}\, =\, \mathrm{\rho} _{b}\, \cdot \, \mathit{V_{\mathit{b}}}$ et $\mathit{V_{\mathit{b}}}\, =\, \frac{4}{3}\, \cdot \, \mathrm{\pi }\, \cdot \, \mathit{r}^{3}$
Donc : $\alpha \, \cdot \, \mathrm{\eta} _{\mathit{c}}\, \cdot \, \mathit{\nu} _{\mathrm{lim}}\, =\, \rho _{b}\, \cdot \, \frac{4}{3}\, \cdot \, \pi \, \cdot \, \mathit{r}^{3}\, \cdot \, \mathit{g}\, -\, \mathrm{\rho} _{h}\, \cdot \, \frac{4}{3}\, \cdot \mathrm{\pi} \, \cdot \, \mathit{r}^{3}\, \cdot \, \mathit{g}\, =\, \frac{4}{3}\, \cdot\, \, \pi \, \cdot \, \mathit{r}^{3}\, \cdot \, \mathit{g}\, \cdot \, (\mathrm{\rho} _{b}\, -\, \mathrm{\rho} _{\mathit{h}})$
$\mathrm{\alpha} \, \cdot \, \mathrm{\eta} _{\mathit{c}}\, \cdot \, \mathit{\nu} _{\mathrm{lim}}\, =\, \frac{4\cdot \pi \cdot r^{3}\cdot g\cdot (\mathrm{\rho} _{b}-\mathrm{\rho} _{h})}{3}$

Q5.

C'est une application numérique, il ne faut pas se tromper dans les conversions d'unité.

$\mathit{\eta} _{\mathit{c}}\, =\, \frac{4\, \cdot \, \mathit{\pi} \, \cdot \, \mathit{r}^{3}\, \cdot \, \mathit{g}\, \cdot \, (\mathit{\rho} _{\mathit{b}}\, -\, \mathit{\rho} _{h})}{3\, \cdot \, \mathit{\alpha} \, \cdot \, \mathit{\nu} _{\mathit{lim}}}$
A.N. : $\mathit{\eta} _{\mathit{c}}\, =\, \frac{4\cdot \mathrm{\pi} \cdot (0,993\cdot 10^{-3})^{3}\cdot 9,81\, \cdot \, (1,06\cdot 10^{3}-8,31\cdot 10^{2})}{3\cdot 1,92\cdot 10^{-2}\cdot 5,37\cdot 10^{3}}\, =\, 8,93\, \cdot \, 10^{-2}\, \mathrm{N}\, \cdot \, \mathrm{m}^{-2}\, \cdot \, \mathrm{s}$

Q6.

On utilise le quotient fourni dans l'énoncé $\frac{\left | \mathit{x}-\mathit{x}_{\mathrm{ref}}\right | }{\mathrm{u}(\mathrm{x})}$ . Si ce quotient est inférieur à 2, la valeur expérimentale est en accord avec la valeur de référence, s'il est supérieur à 2, la valeur expérimentale n'est pas en accord avec la valeur de référence.

On calcule le quotient $\frac{\left | \mathrm{\eta} _{\mathit{c}}-\eta _{\mathrm{ref}}\right | }{\mathrm{u}(\mathrm{n}_{\mathrm{c}})}\, =\, \frac{\left | 8,93\cdot 10^{-2}\, -\, 0,093\right | }{0,003}\, =\, 1,2\, < \, 2$ . La valeur de la viscosité obtenue expérimentalement est en accord avec la valeur de référence.

Q7.

Il faut utiliser la 2^e loi de Newton et projeter les forces sur l'axe z. En factorisant le terme contenant g, on obtient l'équation donnée dans l'énoncé.

Système {bille} ;
Référentiel : terrestre, considéré comme galiléen ;
Bilan des forces : $\vec{\mathit{P}}$ , $\vec{\mathit{f}}$ et $\overrightarrow{\mathit{P}_{\mathit{A}}}$ .
On applique la 2^e loi de Newton (aussi appelé le principe fondamental de la dynamique) :
$\mathit{m}\, \cdot \, \vec{\mathit{a}}\, =\, \vec{\mathit{P}}\, +\, \vec{\mathit{f}}\, +\, \overrightarrow{\mathit{P}_{\mathit{A}}}$
On projette sur l'axe (Oz) :
$\mathit{m}\, \cdot \, \mathit{a}\, =\, \mathit{m}\, \cdot \, \mathit{g}\, -\, \alpha \, \cdot \mathrm{\eta} _{c}\, \cdot \nu \, -\, \mathrm{\rho} _{h}\, \cdot \, \mathit{V}_{\mathit{b}}\, \cdot \, \mathit{g}$
$\mathit{a}\, =\, \frac{\mathit{m}\, \cdot g\, -\, \mathrm{\alpha} \, \cdot \, \mathrm{\eta} _{\mathit{c}}\, \cdot \, \mathit{\nu} \, -\, \mathrm{\rho} _{\mathit{h}}\, \cdot \mathit{V}_{\mathit{b}}\, \cdot \mathit{g}}{\mathit{m}}\, =\, \frac{\mathit{m}\, \cdot \, \mathit{g}\, -\, \mathrm{\rho} _{h}\, \cdot \, \mathit{V}_{\mathit{b}}\, \cdot \, \mathit{g}}{\mathit{m}}\, -\, \frac{\mathrm{\alpha} \, \cdot \, \mathrm{\eta} _{\mathit{c}}}{m}\, \cdot \, \mathit{\nu}$
On factorise le terme en g :
$a\, =\, g\, \cdot \, \left ( \frac{m\, -\, \mathrm{\mathrm{\rho}} _{h}\, \cdot \, \mathit{V}_{\mathit{b}}}{\mathit{m}} \right )\, -\, \frac{\mathrm{\alpha} \, \cdot \, \mathrm{\eta} _{c}}{m}\, \cdot \, \nu \, =\, \mathit{g}\, \cdot \, \left ( 1\, -\, \frac{\mathrm{\rho} _{h}\, \cdot \, V_{b}}{m} \right )\, -\, \frac{\mathrm{\alpha} \, \cdot \, \eta _{c}}{m}\, \cdot \, \mathit{\nu }$

Q8.

Il s'agit ici d'utiliser la définition de l'accélération, qui correspond à la dérivée de la vitesse en fonction du temps : $\vec{\mathit{a}}\, =\, \frac{\mathrm{d}\vec{\nu }}{\mathrm{d}\mathit{t}}$ . Il suffit ensuite de remplacer ce terme dans l'équation précédente démontrée à la question 7.

Par définition, $\vec{\mathit{a}}\, =\, \frac{\mathrm{d}\vec{\nu }}{\mathrm{d}\mathit{t}}$ donc $\mathit{a}\, =\, \frac{\mathrm{d}\mathit{\nu} }{\mathrm{d}\mathit{t}}$ . On remplace ce terme dans l'équation précédente :
$\frac{\mathrm{d}\mathit{\nu} }{\mathrm{d}\mathit{t}}\, =\, \mathit{g}\, \cdot \, \left ( 1\, -\, \frac{\mathrm{\rho} _{h}\cdot \mathit{V}_{\mathit{b}}}{\mathit{m}} \right )\, -\, \frac{\mathrm{\alpha} \cdot \mathrm{\eta} _{\mathrm{c}}}{m}\, \cdot \mathit{\nu}$
$\frac{\mathrm{d}\mathit{\nu} }{\mathrm{d}\mathit{t}}\, +\, \frac{\mathrm{\alpha} \cdot \mathrm{\eta} _{\mathrm{c}}}{m}\, \cdot \mathit{\nu} \, =\, g\, \cdot \, \left ( 1\, -\, \frac{\mathrm{\rho} _{h}\, \cdot \, \mathit{V}_{\mathit{b}}}{\mathit{m}} \right )$
Or $\mathit{m}\, =\, \mathrm{\rho}_{b} \, \cdot \, \mathit{V}_{\mathit{b}}$
D'où : $\frac{\mathrm{d}\mathit{\nu} }{\mathrm{d}\mathit{t}}\, +\, \frac{\mathrm{\alpha} \cdot \mathrm{\eta} _{\mathrm{c}}}{\rho _{b} \cdot \mathit{V}_{\mathit{b}}}\, \cdot \mathit{\nu} \, =\, g\, \cdot \, \left ( 1\, -\, \frac{\mathrm{\rho} _{h}\, \cdot \, \mathit{V}_{\mathit{b}}}{\mathit{\rho _{\mathit{b}}\cdot V_{\mathit{b}}}} \right )$
Or $\mathit{V_{b}}\, =\, \frac{4}{3}\, \cdot \mathrm{\pi} \cdot \, \mathrm{r}^{3}$
Donc, $\frac{\mathrm{d}\nu }{\mathrm{d}t}\, +\, \frac{3\cdot \alpha \cdot \mathrm{\eta} _{\mathrm{c}}}{\mathrm{\rho} _{b}\cdot 4\cdot \pi \cdot \mathrm{r}^{3}}\, \cdot \, \mathrm{\nu} \, =\, \mathrm{g}\, \cdot \, \left ( 1\, -\, \frac{\mathrm{\rho} _{h}}{\mathrm{\rho} _{b}} \right )$

Q9.

Il faut dans un premier temps utiliser la relation de l'énoncé pour calculer τ. Ensuite, il y a plusieurs possibilités pour répondre à cette question : la plus simple consiste à comparer quantitativement la durée de la chute avec la durée du régime transitoire $(5\, \cdot \, \mathit{\tau} )$ .

$\tau \, =\, \frac{4\, \cdot \mathrm{\rho} _{\mathit{b}}\, \cdot \mathrm{\pi} \, \cdot \, \mathrm{r}^{3}}{3\cdot \mathrm{\alpha} \, \cdot \mathrm{\eta} _{\mathrm{c}}}$
A.N. : $\tau \, =\, \frac{4\cdot 1,06\cdot 10^{3}\cdot \pi \cdot (0,993\cdot 10^{-3})^{3}}{3\cdot 1,92\cdot 10^{-2}\cdot 0,093}\, =\, 2,43\, \cdot 10^{-3}\, \mathrm{s}$
On sait que la durée du régime transitoire est de $(5\, \cdot \, \mathit{\tau} )$ . On évalue la durée totale de la chute en supposant que la vitesse limite est atteinte :
$\mathit{t}_{\mathrm{chute}}\, =\, \frac{\mathit{h}_{\mathrm{tube}}}{\mathit{\nu} _{\mathrm{lim}}}\, =\, \frac{15\cdot 10^{-2}}{5,37\cdot 10^{-3}}\, =\, 27,9\, \mathrm{s}$ avec h_tube : la hauteur du tube et t_chute : la durée de la chute.
On compare la durée du régime transitoire $5\, \cdot \, \mathit{\tau} =\, 5\, \cdot 2,43\, \cdot \, 10^{-3}\, =\, 1,22\, \cdot 10^{-2}\, \mathrm{s}\, \ll \, \mathit{t}_{\mathrm{chute}}$
La durée de la chute en régime permanent est très supérieure à la durée du régime transitoire, donc l'hypothèse est vérifiée : la vitesse de la bille est pratiquement égale à sa valeur limite pendant tout le mouvement.

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