Sujet national, juin 2026, exercice 3

Exercice sur 6 points

On étudie le fonctionnement d'un système de chauffage installé dans une pièce.
Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à 18 °C (degrés Celsius), et s'éteint lorsqu'elle atteint 20 °C.

Partie A : Phase de chauffage

Pour une température de la pièce variant de 18 °C à 20 °C, le système de chauffage fonctionne en continu. La température de la pièce augmente progressivement.
Dans cette partie, on modélise la température de la pièce, en degré Celsius, à l'instant t, exprimé en dizaines de minutes, par une fonction T définie sur $[0\, ;\, +\infty [$ .
On admet que la fonction T est :

• dérivable sur $[0\, ;\, +\infty [$ ;

• solution de l'équation différentielle (E) : y' = −0,035y + 0,91 où y est une fonction de la variable t, définie et dérivable sur $[0\, ;\, +\infty [$ .
On note T' la fonction dérivée de la fonction T.
On suppose qu'au début de l'étude, la température de la pièce est de 18 °C. Ainsi T(0) = 18.

1. Donner les solutions de l'équation différentielle (E) sur $[0\, ;\, +\infty [$ .

2. En déduire que pour tout nombre réel t appartenant à l'intervalle $[0\, ;\, +\infty [$ , on a :
T(t) = 26 − 8e^−0,035t.

3. Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps la pièce atteindra la température de 20 °C. On exprimera le résultat en heures et minutes arrondi à la minute.

4. Si une panne du système de chauffage l'empêche de s'éteindre lorsque la température de la pièce atteint 20 °C, la température de la pièce pourra-t-elle dépasser 28 °C selon ce modèle ? Justifier.

Partie B : Phase de refroidissement

Lorsque la pièce atteint la température de 20 °C, le système de chauffage s'éteint et la pièce refroidit.
On modélise la température de la pièce par la suite (u_n) définie par u₀ = 20 et pour tout entier naturel n :
u_n+1 = 0,965u_n + 0,35 + 0,07e^−0,1n
où n est un nombre entier exprimant le temps écoulé en dizaines de minutes.

1. Montrer que u₁ = 19,72.

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a u_n > 10.
On admet que la suite (u_n) est décroissante.

3. En déduire que la suite (u_n) est convergente.

On note ℓ la limite de la suite (u_n).

a. Justifier que cette limite est solution de l'équation x = 0,965x + 0,35.

b. Déterminer ℓ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

On rappelle que le système de chauffage se met en marche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à 18 °C.

a. Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 du programme écrit en langage Python ci-dessous, afin qu'il renvoie le nombre de dizaines de minutes à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.

b. Déterminer le temps, en dizaines de minutes, à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.

Corrigé

Partie A

1. On rappelle que les solutions de l'équation différentielle y' = ay + b sont les fonctions f définies pour tout t de Ensemble R

par :
$f(t)\, =\, Ce^{at}\, -\, \frac{b}{a}\, ;\, C\,\in \, \mathbb{R}$
Ainsi les solutions de (E) sont les fonctions f définies et dérivables sur $[0\, ;\, +\infty [$ par :
$f(t)\, =\, Ce^{-0,035t}\, -\, \frac{0,91}{-0,035}\, ;\, C\,\in \, \mathbb{R}$
$f(t)\, =\, Ce^{-0,035t}\, +\, 26\, ;\, C\,\in \, \mathbb{R}$

2. La fonction T recherchée vérifie donc :
T(t) = Ce^−0,035t + 26
avec C une constante réelle que l'on doit déterminer.
De plus, on sait que la température initiale au début de l'observation est de 18 °C.
Donc T(0) = 18.
Or :
T(0) = Ce^−0,035x0 + 26
T(0) = C × e⁰ + 26
T(0) = C × 1 + 26
T(0) = C + 26
Comme T(0) = 18, on a ainsi :
18 = C + 26
C + 26 = 18
On soustrait les deux membres de l'égalité par 26 :
C + 26 − 26 = 18 − 26
C = −8
Ainsi, pour tout t de $[0\, ;\, +\infty [$ :
T(t) = −8 × e^−0,035t + 26

3. Étant donné que la température initiale est de 18 °C et que celle-ci augmente progressivement, cela revient à résoudre dans $[0\, ;\, +\infty [$ l'équation :
T(t) = 20
−8 × e^−0,035t + 26 = 20
On soustrait les deux membres de l'égalité par 26 :
−8 × e^−0,035t + 26 − 26 = 20 − 26
−8 × e^−0,035t = −6
On divise les deux membres de l'égalité par −8 :
$\frac{-8\times e^{-0,035t}}{-8}=\frac{-6}{-8}$
e^−0,035t = 0,75
Les deux membres sont strictement positifs, on peut donc composer par la fonction logarithme népérien. En effet, c'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle :
ln(e^−0,035t) = ln(0,75)
−0,035t = ln(0,75)
On divise les deux membres de l'égalité par −0,035 :
$t\, =\, \frac{ln(0,75)}{-0,035}$
Or :
$\frac{ln(0,75)}{-0,035}\approx 8,219$
De plus, t est en dizaines de minutes.
Donc il faut environ 82,19 minutes pour que la température atteigne 20 °C.
1h = 60 min donc il faut environ 1 h et 22 min (arrondi à la minute).

4. L'énoncé affirme que la température augmente progressivement : elle ne diminue à aucun moment.
Étudions la température limite :
$\displaystyle \lim_{ t\to +\infty }T(t)\, =\, \displaystyle \lim_{t \to \, +\infty }\, -8\, \times \, e^{-0,035t}\, +\, 26=-8\times 0\, +\, 26\, =\, 26$
Donc la température de la pièce va se stabiliser vers 26 °C au bout d'un grand nombre de dizaines de minutes, elle ne pourra donc pas dépasser 28 °C.

Partie B

1. u₀₊₁= 0,965u₀ + 0,35 + 0,07e^−0,1x0 = 0,965 × 20 + 0,35 + 0,07e⁰
u₁ = 19,3 + 0,35 + 0,07 × 1 = 19,72

2. Soit P(n) la propriété : « u_n > 10 ».
Initialisation : u₀ = 20 donc on a bien u₀ > 10. Donc P(0) est vraie.
Hypothèse de récurrence : soit k un entier naturel quelconque. Supposons que u_k > 10 :
Hérédité : montrons que u_k+1 > 10 c'est à dire que 0,965u_k + 0,35 + 0,07e^−0,1xk > 10.
On sait que u_k > 10.
On multiplie les deux membres de l'inégalité par 0,965 ; le symbole ne change pas de sens car 0,965 > 0.
Donc : 0,965 × u_k > 0,965 × 10, c'est à dire que : 0,965u_k > 9,65.
On ajoute aux deux membres de l'inégalité 0,35 + 0,07e^−0,1xk :
0,965u_k + 0,35 + 0,07e^−0,1xk > 9,65 + 0,35 + 0,07e^−0,1xk
0,965u_k + 0,35 + 0,07e^−0,1xk >10 + 0,07e^−0,1xk
u_k+1 > 10 + 0,07e^−0,1xk
Or, 0,07e^−0,1xk > 0 car 0,07 > 0 et pour tout entier k : e^−0,1xk> 0.
D'où :
u_k+1 > 10 + 0,07e^−0,1xk > 10
Donc :
u_k+1 > 10
Ainsi, on a supposé P(k) vraie pour un entier k quelconque et on a démontré que P(k+1) est vraie.
Conclusion : la propriété est initialisée pour n = 0 et héréditaire, donc la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n.
Ainsi, par récurrence, pour tout entier naturel n, on a u_n > 10.

3. La suite (u_n) est minorée par 10 et la suite (u_n) est décroissante, donc d'après le théorème des suites convergentes monotones, la suite (u_n) est convergente vers un réel ℓ, tel que ℓ supérieur ou égal

10.
Ainsi :
$\displaystyle \lim_{n \to \, +\infty }u_{n}\, =\, l$

4. a. On ne peut pas utiliser le théorème du point fixe ici, car la suite (u_n) n'est pas définie par une relation du type u_n+1 = f(u_n).
On a, pour tout entier naturel n : u_n+1 = 0,965u_n + 0,35 + 0,07e^−0,1xn.
Au passage à la limite, lorsque n tend vers $+\infty$ , on a donc :
$\displaystyle \lim_{n \to +\, \infty }u_{n+1}\, =\, \displaystyle \lim_{n \to \, +\, \infty }0,965u_{n}\, +\, 0,35\, +\, 0,07e^{-0,1\times n}$
D'une part :
$\displaystyle \lim_{n \to +\, \infty }u_{n+1}\, =\, l$
D'autre part :
$\displaystyle \lim_{n \to \, +\, \infty }0,965u_{n}\, +\, 0,35\, +\, 0,07e^{-0,1\, \times \, n}\, =\, 0,965l \, +\, 0,35\, +\, 0,07\, \times \, 0\, =\, 0,965l \, +\, 0,35$
Ainsi :
ℓ = 0,965ℓ + 0,35
C'est à dire que ℓ est une solution de l'équation : x = 0,965x + 0,35.

b. Résolvons :
x = 0,965x + 0,35
On soustrait les deux membres par 0,965x :
x − 0,965x = 0,965x + 0,35 −0,965x
1x −0,965x = 0,35
0,035x = 0,35
On divise les deux membres par 0,035 :
$\frac{0,035x}{0,035}\, =\, \frac{0,35}{0,035}$
x = 10
Ainsi ℓ = 10.
Interprétation : la température initiale est de 20 °C et cette température diminue et va se stabiliser vers 10 °C au bout d'un grand nombre de dizaines de minutes (si le système de chauffage ne se remet pas en route).

5. a.

On veut traduire en langage Python « tant que la température au bout de n dizaines de minutes est strictement supérieure à 18 °C, alors on détermine la température 1 dizaine de minutes après et on effectue la même vérification, etc. »
Cela donne :
while u > 18 :
u = 0.965*u + 0.35 + 0.07*exp(−0.1*n)
n = n + 1

Remarque 1 : il faut absolument indiquer l'opération multiplication (par le symbole *) car le langage Python ne connaît pas les raccourcis de l'écriture littérale.
Remarque 2 : il faut (en amont de la création de la fonction marche) importer la fonction exp à l'aide de la commande : from math import exp

b. À l'aide la calculatrice, on peut taper ce script et l'exécuter. L'entier affiché sur la console est l'entier 8.
On peut aussi, toujours à l'aide de la calculatrice, afficher les premiers termes de la suite (u_n) dans un tableau de valeurs.
On lit alors que $u_{7}\, \approx \, 18,1$ et $u_{8}\, \approx \, 17,9$ . Ainsi, le plus petit entier n tel que u_n < 18 est bien 8. Conclusion : au bout de 80 minutes, le chauffage se remettra en marche.