Sujet national, juin 2025, exercice 3

Énoncé

Exercice sur 4 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. La suite (u_n) est définie pour tout entier naturel n par :
$u_{n}\: =\: \frac{1\: +\: 5^{n}}{2\: +\: 3^{n}}$
Affirmation 1 : La suite (u_n) converge vers $\frac{5}{3}$ .

2. On considère la suite (w_n) définie par :
w₀ = 0 et, pour tout entier naturel n, w_n₊₁=3w_n − 2n + 3.
Affirmation 2 : Pour tout entier naturel n, w_n ≥ n.

3. On considère la fonction f définie sur $\left ]0\: ;\: +\infty \right [$ , dont la courbe représentative C_f est donnée dans un repère orthonormé sur la figure (fig. 1) en page 5. On précise que :

• T est la tangente à C_f au point A d’abscisse 8 ;

• l’axe des abscisses est la tangente horizontale à C_f au point d’abscisse 1.

Affirmation 3 : D’après le graphique, la fonction f est convexe sur son ensemble de définition.

4. Affirmation 4 : Pour tout réel x > 0, ln(x) − x + 1 ≤ 0, où ln désigne la fonction logarithme népérien.

Corrigé

Affirmation 1

L’étude directe de la limite conduit à une forme indéterminée du type $\frac{\infty }{\infty }$ .
En effet, on sait que pour tout réel q tel que q > 1, on a :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty }q^{n}\: =\: +\infty$
Ainsi :
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty }5^{n}\: =\: +\infty\; \textrm{et}\; \displaystyle \lim_{n \to +\infty }3^{n}\: =\: +\infty$
On doit donc transformer l’expression de u_n afin de lever l’indétermination. Une astuce classique lors d’une forme indéterminée de ce type consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur par même facteur. Ici, on peut par exemple factoriser par 3ⁿ.
Pour tout n de Ensemble N

:
$\begin{matrix}u_{n}\: =\: \frac{3^{n}\: \times \: \left ( \frac{1}{3^{n}}\: +\: \frac{5^{n}}{3^{n}} \right )}{3^{n}\: \times \: \left ( \frac{2}{3^{n}}\: +\: \frac{3^{n}}{3^{n}} \right )} \\u_{n}\: =\: \frac{\frac{1}{3^{n}}\: +\: \left ( \frac{5}{3} \right )^{n}}{\frac{2}{3^{n}}\: +\: 1}\end{matrix}$
On a :

• $\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{1}{3^{n}}\: =\: 0^{+}$ (par quotient) ;

• $\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{2}{3^{n}}\: =\: 0^{+}$ (par quotient) ;

• $\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\left ( \frac{5}{3} \right )^{n}\: =\: +\infty$ , car $\frac{5}{3}\: > \: 1$ .

Ainsi, par somme :

• $\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{1}{3^{n}}\: +\: \left ( \frac{5}{3} \right )^{n}\: =\: +\infty$

• $\displaystyle \lim_{n \to +\infty } \frac{2}{3^{n}}\: +\: 1\: =\: 1$

Ainsi, comme 1 > 0, par quotient :
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty }u_{n}\: =\: +\infty$
Donc la suite (u_n) diverge vers $+\infty$ .
L’affirmation 1 est donc fausse.

Affirmation 2

Les premiers termes semblent confirmer que la propriété est vraie, mais il faut le prouver de manière générale. On va alors utiliser un raisonnement par récurrence car une preuve directe (par inégalités successives) semble compliquée.
Soit P_n : "w_n ≥ n", pour $n\: \in \: \mathbb{N}$ .
Initialisation : on montre que P₀ est vraie.
Pour n = 0, w₀ = 0 ≥ 0, donc P₀ est vraie.
Hérédité : Soit k un entier naturel. Supposons que P_k est vraie, c’est à dire que w_k ≥ k (hypothèse de récurrence). Montrons que P_k₊₁ est vraie, c’est à dire que w_k₊₁ ≥ k + 1.
On sait que
w_k₊₁ = 3w_k − 2k + 3
On part de :
w_k ≥ k
3w_k ≥ 3k, car 3 > 0
3w_k − 2k + 3 ≥ 3k − 2k + 3
w_k₊₁ ≥ k + 3 ≥ k + 1
Donc :
w_k₊₁ ≥ k + 1
Ainsi, P_k₊₁ est vraie.
On peut conclure que pour tout entier naturel n, w_n ≥ n.
Ainsi l’affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3

Une fonction est convexe sur son ensemble de définition si et seulement si sa représentation graphique est située au-dessus de toutes ses tangentes. Or, sur [1 ; 8] par exemple, C_f est en dessous de sa tangente T. Donc f n’est pas convexe sur son ensemble de définition. L’affirmation 3 est fausse.

Affirmation 4

Soit T la tangente à la courbe représentative de la fonction ln au point d’abscisse 1.
On a :
$T_{1}:y\: =\: \textrm{ln}'\left ( 1 \right )\left ( x\: -\: 1 \right )\: +\: \textrm{ln}\left ( 1 \right )$
Donc :
$T_{1}:y\: =\: \frac{1}{1}\left ( x\: -\: 1 \right )\: +\: 0$
T₁:y = x − 1
La fonction ln est concave, car sa dérivée seconde $x\: \mapsto \: -\frac{1}{x^{2}}$ est strictement négative sur $\left ]0\: ;\: +\infty \right [$ .
Donc sa représentation graphique est située en dessous de sa tangente.
Par conséquent, la représentation graphique de la fonction ln est située en dessous de T.
Donc pour tout x > 0, on a ln(x) ≤ x − 1, c’est-à-dire ln(x) − x + 1 ≤ 0.
Donc l’affirmation 4 est vraie.