Optimisation du transport de l'énergie

Énoncé

Le sujet

On dispose de deux sources S₁ et S₂ qui produisent du courant continu d'intensité I₁ et I₂. Le courant doit être acheminé vers deux cibles C₁ et C₂ qui attendent des intensités fixées valant respectivement I₃ et I₄. Le réseau comporte un unique nœud.

Le modèle mathématique associé est :

Le problème consiste à déterminer les intensités I₁ et I₂, en ampères, de manière à minimiser la puissance dissipée par effet Joule le long du réseau.

Les contraintes

a) Donner la contrainte au niveau du nœud sur les intensités (aussi appelé loi des nœuds). Comme I₃ et I₄ sont constantes, I₃ + I₄ est constant. On pose K = I₃ + I₄.

b) En déduire une expression de I₁ et I₂ en fonction de K. Commenter l'expression obtenue.

c) Donner les contraintes sur chacune des intensités I₁ et I₂ par rapport aux valeurs maximales s₁ et s₂.

d) En déduire une inégalité pour I₁ en fonction de K et s₂.

L'expression de la puissance totale dissipée par effet Joule est notée P_JT. Elle doit être calculée pour chacun des cas suivants :

Cas n° 1

R₁ = R₃ = R₄ = 0,1 Ω ; R₂ = 0,2 Ω ; I₃ = I₄ = 3 A ; s₁ = s₂ = 5 A

a) Déterminer l'expression de P_JT en fonction de I₁.

b) On obtient une fonction du second degré en I₁. En traçant cette fonction à la calculatrice, déterminer la valeur du minimum de la courbe.

c) En déduire la valeur de I₂.

Cas n° 2

R₁ = R₃ = R₄ = 0,2 Ω ; R₅ = 0,05 Ω ; I₃ = 4 A ; I₄ = 2 A ; s₁ = 5 A ; s₂ = 4 A.

a) Déterminer l'expression de P_JT en fonction de I₁.

b) On obtient une fonction du second degré en I₁. En traçant cette fonction à la calculatrice, déterminer la valeur du minimum de la courbe.

c) En comparant la valeur de I₁ obtenue avec la contrainte précédente, expliquer pourquoi cette optimisation est impossible.

Cas n° 3

R₁ = 0,05 Ω ; R₂ = R₃ = R₄ = 0,25 Ω ; I₃ = 4 A ; I₄ = 2 A ; s₁ = 4,5 A ; s₂ = 5 A.

a) Déterminer l'expression de P_JT en fonction de I₁.

b) On obtient une fonction du second degré en I₁. En traçant cette fonction à la calculatrice, déterminer la valeur du minimum de la courbe.

c) En comparant la valeur de I₁ obtenue avec la contrainte précédente, expliquer pourquoi cette optimisation est impossible.

La bonne méthode

Les contraintes

a) Faire le bilan des intensités qui arrivent et repartent du nœud.

b) Remplacer par K dans la relation précédente. K est une constante.

c) Les sources S₁ et S₂ ne peuvent délivrer que les intensités maximales respectives s₁ et s₂.

d) Utiliser la relation trouvée en b) pour déterminer une nouvelle relation à partir de celle déterminée en c).

Cas n° 1

a) La puissance dissipée par effet Joule est produite par chacune des résistances. Utiliser les valeurs de l'énoncé et l'expression de la question b) (des contraintes) pour donner une expression numérique P_JT de en fonction de I₁.

b) Sur la calculatrice, la variable est x. Il faut donc remplacer I₁ par x.

c) Avec l'expression de la question b) (des contraintes), calculer I₂.

Cas n° 2 et n° 3

a) Il s'agit de la même technique que pour la question précédente, en veillant à utiliser les nouvelles valeurs de l'énoncé.

b) Sur la calculatrice, la variable est x. Il faut donc remplacer I₁ par x.

c) Utiliser les expressions des contraintes sur I₁ pour montrer en quoi l'optimisation est impossible.

Corrigé

a. Les intensités I₁ et I₂ arrivent au nœud, les intensités I₃ et I₄ partent du nœud.
Donc on peut écrireI₁ + I₂ = I₃ + I₄.

b. Comme I₃ + I₄ = K, d'après l'expression précédente, I₁ + I₂ = K. La somme des intensités I₁ + I₂ est constante.

c. Chacune des intensités I₁ et I₂ ne peut pas dépasser la valeur maximale délivrée par chacune des sources. On a donc I₁ inférieur ou égal

s₁ et I₂

s₂.

d. Comme I₁ + I₂ = K, on a I₂ = K − I₁. D'où K − I₁ inférieur ou égal

s₂ et I₁

K −s₂.

a. La puissance totale dissipée par effet Joule par l'ensemble des résistances est égale à la somme des puissances dissipées par effet Joule dans chacune des résistances.
Donc $P_{JT} = R_{1} \times I_{1}^{2} + R_{2} \times I_{2}^{2} + R_{3} \times I_{3}^{2} + R_{4} \times I_{4}^{2}$ .
On a K = I₃ + I₄ = 6, d'où I₂ = 6 − I₁.
Dans l'expression de la puissance dissipée par effet Joule, on obtient :
$P_{JT} = 0,1 \times I_{1}^{2} + 0,2 \times (6 - I_{1})^{2} + 0,1 \times 3^{2} + 0,1 \times 3^{2}$
$P_{JT} = 0,1 \times I_{1}^{2} + 0,2 \times (36 - 12 \times I_{1} + I_{1}^{2}) + 0,9 + 0,9$
$P_{JT} = 0,1 \times I_{1}^{2} + 7,2 - 2,4 \times I_{1} + 0,2 \times I_{1}^{2} + 1,8$
Donc $P_{JT} = 0,3 \times I_{1}^{2} - 2,4 \times I_{1} + 9$ .

b. On obtient la courbe suivante :

Le minimum de la courbe est obtenu pour I₁ = 4 A, et P_JT = 4,2 W.

c. Comme I₂ = 6 − I₁, on a I₂ = 6 − 4 = 2 A.

a. On a K = I₃ + I₄ = 6, d'où I₂ = 6 − I₁.
Dans l'expression de la puissance dissipée par effet Joule, on obtient :
$P_{JT} = 0,2 \times I_{1}^{2} + 0,05 \times (6 - I_{1})^{2} + 0,2 \times 4^{2} + 0,2 \times 2^{2}$
$P_{JT} = 0,2 \times I_{1}^{2} + 0,05 \times (36 - 12 \times I_{1} + I_{1}^{2}) + 3,2 + 0,8$
$P_{JT} = 0,2 \times I_{1}^{2} + 1,8 - 0,6 \times I_{1} + 0,05 \times I_{1}^{2} + 4$
Donc $P_{JT} = 0,25 \times I_{1}^{2} - 0,6 \times I_{1} + 5,8$ .

On obtient la courbe suivante :

Le minimum de la courbe est obtenu pour I₁ = 1,2 A, et P_JT = 5,6 W.

c. D'après les contraintes, I₁ supérieur ou égal

K − s₂. Donc I₁ supérieur ou égal

6 − 4, et I₁ supérieur ou égal

2 A. Or le minimum de la puissance dissipée par effet Joule est obtenue pour I₁ = 1,2 A, donc la puissance dissipée par effet Joule ne pourra jamais être minimale.

a. On a K = I₃ + I₄ = 6, d'où I₂ = 6 − I₁.
Dans l'expression de la puissance dissipée par effet Joule, on obtient :
$P_{JT} = 0,05 \times I_{1}^{2} + 0,25 \times (6 - I_{1})^{2} + 0,25 \times 4^{2} + 0,25 \times 2^{2}$
$P_{JT} = 0,05 \times I_{1}^{2} + 0,25 \times (36 - 12 \times I_{1} + I_{1}^{2}) + 4 + 1$
$P_{JT} = 0,05 \times I_{1}^{2} + 9 - 3\times I_{1} + 0,25 \times I_{1}^{2} + 5$
Donc $P_{JT} = 0,3 \times I_{1}^{2} - 3\times I_{1} + 14$ .

On obtient la courbe suivante :

Le minimum de la courbe est obtenu pour I₁ = 5 A, et P_JT = 6,5 W.

c. D'après les contraintes, I₁ inférieur ou égal

s₁. Donc I₁ inférieur ou égal

4,5 A. Or le minimum de la puissance dissipée par effet Joule est obtenue pour I₁ = 5 A, donc la puissance dissipée par effet Joule ne pourra jamais être minimale.

Optimisation du transport de l'énergie

Énoncé

Le sujet

Les contraintes

Cas n° 1

Cas n° 2

Cas n° 3

La bonne méthode

Annexes

Corrigé