Hydratation lors d'un marathon (sujet national, juin 2018, spécialité)

Énoncé

Hydratation lors d'un marathon
Une marathonienne, âgée de 35 ans, court le marathon en 4 heures. En moyenne, la perte en eau d'une marathonienne est comprise entre 1,5 et 2,5 litres par heure de course. Consciente des risques de déshydratation, la marathonienne décide d'assurer ses besoins en eau à l'aide d'une boisson isotonique qui contient notamment des « sucres libres » et un colorant alimentaire, le bleu brillant.
Dans cet exercice, on s'interroge sur les risques liés aux quantités de bleu brillant et de « sucres libres » ingérées lors d'un marathon, si la marathonienne ne consomme que cette boisson.
Concernant le sucre, l'Organisation mondiale de la santé (OMS) recommande que l'apport énergétique dû aux « sucres libres » ne dépasse pas 10 % des besoins énergétiques journaliers.
Le bleu brillant est un composé chimique de couleur bleu-foncé, utilisé comme colorant alimentaire (E133). La dose journalière admissible (DJA) pour ce colorant, quantité maximale qu'une personne peut consommer par jour sans risque pour sa santé, est de 12,5 milligrammes par kilogramme de masse corporelle.
La quantité de bleu brillant présente dans la boisson isotonique n'est pas indiquée. Pour la déterminer, on réalise l'expérience suivante :
• à partir d'une solution mère S0 de bleu brillant de concentration molaire C0 égale à 0,100 mmol.L−1, on prépare par dilution six solutions aqueuses Si (i variant de 1 à 6) de volume V = 100,0 mL en prélevant un volume Vi de solution mère ;
• après réglage du spectrophotomètre à la longueur d'onde de 630 nm, on mesure l'absorbance de chacune des solutions Si ainsi que celle de la boisson.

Solution Si
S1
S2
S3
S4
S5
S6
Volume Vi de solution S0 prélevé (en mL)
1,0
2,0
3,0
5,0
8,0
10,0
Absorbance
0,134
0,259
0,434
0,745
1,150
1,402

L'absorbance de la boisson isotonique est égale à 0,789.
Données :
• masse molaire moléculaire du colorant E133 : 793 g.mol−1 ;
• énergie apportée par les « sucres libres » contenus dans 100 mL de boisson isotonique : 68,5 kJ ;
• besoins énergétiques pour une femme d'âge compris entre 20 et 40 ans, le jour d'un marathon : 19 ×  103 kJ.
Questions préliminaires
1. 
Déterminer le volume maximal de boisson isotonique que la marathonienne peut ingérer le jour du marathon pour suivre les recommandations de l'OMS concernant les « sucres libres ».
Calculez les besoins énergétiques en « sucres libres » d'une marathonienne de 35 ans. Puis calculez l'énergie apportée par sa boisson isotonique pour 1 L.
2. 
Calculer la valeur de la concentration molaire en bleu brillant de la solution S5 obtenue par dilution.
Lors d'une dilution, la quantité de matière prélevée de la solution mère est la même que la quantité de matière de la solution fille.
Problème
Lors d'un marathon, afin de compenser la totalité de sa perte en eau, la marathonienne consomme uniquement la boisson isotonique étudiée précédemment. Déterminer si la marathonienne respecte les recommandations concernant les « sucres libres » et le bleu brillant lors de ce marathon.
Le problème porte sur deux substances : les « sucres libres » et le bleu brillant.
Il faut dans un premier temps estimer le volume de boisson que boit la marathonienne lors de sa course. Compte tenu de la question 1, on pourra facilement savoir si la sportive respecte les recommandations en quantité de « sucres libres ».
Pour connaître la masse de bleu brillant absorbée par la marathonienne, il faut tirer profit de la loi de Beer Lambert en traçant l'absorbance en fonction de la concentration des solutions filles. La question 2 nous donne une relation permettant de trouver facilement la concentration des solutions filles connaissant les volumes prélevés de solution mère.
Le sujet ne comportait pas de papier millimétré, donc soit on calcule une moyenne des rapports de l'absorbance sur la concentration (moins précis), soit en réalise un ajustement affine à la calculatrice graphique.
On pourra ainsi accéder à la concentration en bleu brillant dans la boisson isotonique, puis en déduire la concentration massique, et enfin, la masse absorbée pour un volume maximum de boisson isotonique.
Le calcul de la masse maximale de bleu brillant à absorber chaque jour sera effectué à partir de la valeur de la DJA et d'une estimation de la masse de la marathonienne.
On pourra ensuite conclure sur les recommandations.

Corrigé

Questions préliminiares
1. Les « sucres libres » ne doivent pas dépasser 10 % des besoins énergétiques journaliers d'après l'OMS.
Comme les besoins énergétiques pour une femme d'âge compris entre 20 et 40 ans, le jour d'un marathon, sont de 19.103 kJ, elle ne doit pas consommer plus de E_{max}=19.10^{2} kJ de « sucres libres » dans sa boisson isotonique.
L'énergie apportée par les « sucres libres » contenus dans 100 mL de boisson isotonique représente 68,5 kJ, soit E_{sucre} = 685 kJ.L−1.
Le volume maximal est donc : V_{max}=\frac{E_{max}}{E_{sucre}}.
Soit numériquement, V_{max} = \frac{19.10^{2}}{685} = 2,8 L.
2. Lors d'une dilution, la quantité de matière prélevée se conserve.
Solution mère : concentration : C0 = 0,100 mmol.L−1 = 0,100.10−3 mol.L−1 et volume prélevé : Vi.
Solution fille : concentration : Ci et volume : V = 100,0 mL.
Donc nmère prélevée = n5, soit C_{0} \times V_{5} = C_{5} \times V.
D'où, C_{5} = \frac{C_{0} \times V_{5}}{V}.
Numériquement, C_{5} = \frac{0,100.10^{-3} \times 8,0}{100,0} = 8,0.10^{-6}  mol.L−1.
Problème
• Calcul du volume que doit boire la marathonienne pour sa course.
Elle court pendant 4 heures et boit en moyenne entre 1,5 et 2,5 litres par heure de course. Elle aura donc bu à la fin de sa course un volume : 6 L < V_{bu} < 10 L.
• Déterminons la concentration de bleu brillant dans une boisson isotonique.
Par analogie avec la question 2, on peut en déduire les concentrations des différentes solutions filles avec la relation C_{i} = \frac{C_{0}\times V_{i}}{V}.
On obtient le tableau suivant :
Solution Si
S1
S2
S3
S4
S5
S6
Concentration (mol.L−1)
1,0.10−6
2,0.10−6
3,0.10−6
5,0.10−6
8,0.10−6
1,0.10−5
Absorbance
0,134
0,259
0,434
0,745
1,150
1,402

On peut faire tracer le nuage de points correspondant à A = f(C) sur une calculatrice graphique. Ci-après, une copie de l'écran de la calculatrice montrant ce nuage de points.
Sujet national, juin 2018, exercice de spécialité - illustration 1
Le calcul de la droite d'ajustement affine donne : y = 142 700 x.
Soit A = 142 700 × C, l'ordonnée à l'origine (la valeur de b) étant négligeable.
Ci-dessous, la capture d'écran de la droite d'ajustement affine à la calculatrice graphique.
Sujet national, juin 2018, exercice de spécialité - illustration 2
Comme l'absorbance de la boisson isotonique est égale à A_{boisson} = 0,789, on en déduit que C = \frac{A_{boisson}}{142 700}.
D'où la concentration massique en bleu brillant dans la boisson isotonique : C_{m} = C \times M.
D'où, C_{m} = \frac{A_{boisson}}{142 700}\times M.
• Calcul de la masse absorbée de bleu brillant.
Si la marathonienne boit la valeur maximale de boisson trouvée précédemment, soit V_{max} = 10 L, elle aura absorbé une masse m = C_{m} \times V.
Soit m = \frac{A_{boisson}}{142 700} \times M \times V.
Numériquement, m = \frac{0,789}{142700} \times 793 \times 10 = 0,044 g.
• Calcul de la masse maximale de bleu brillant à absorber par jour.
La dose journalière admissible (DJA) est de 12,5 mg.kg de masse corporelle−1.
Supposons que la marathonienne ait une masse de 60 kg. Elle pourra absorber une masse m_{max} = 12,5.10^{-3} \times 60 = 0,75 g.
• Conclusions.
Au sujet des « sucres libres » : d'après la question 1, la marathonienne ne peut pas boire plus de 2,8 L de boisson isotonique par jour. Or, pour être correctement hydratée lors de son marathon, elle doit boire un volume 6 L < V_{bu} < 10 L. La marathonienne ne respecte pas les recommandations de l'OMS concernant les « sucres libres ».
Au sujet du bleu brillant : la masse maximale qu'elle peut absorber mmax = 0,75 g est très inférieure à la masse qu'elle absorberait si elle buvait 10 L de boisson isotonique m = 0,044 g. Elle ne dépasse donc pas la DJA et respecte les recommandations en bleu brillant.