Pompage solaire dans le désert du Sahel (sujet national, juin 2016, spécialité)

Énoncé

Pompage solaire dans le désert du Sahel
Schéma simplifié de l'installation
Schéma simplifié de l'installation
Le pompage solaire consiste à élever l'eau d'un puits vers un réservoir, à l'aide d'une pompe à moteur électrique alimentée par des panneaux de cellules photovoltaïques. L'eau ainsi puisée peut par exemple couvrir les besoins domestiques d'une population ou bien permettre l'irrigation de cultures. Ces systèmes trouvent toute leur pertinence dans la mesure où la difficulté d'accéder à l'eau concerne souvent des régions où l'ensoleillement est fort.
On s'intéresse à une station de pompage située dans le Sahel malien. Pour un bon fonctionnement, il est nécessaire d'adapter le débit de la pompe aux besoins en eau, et la hauteur totale H d'élévation de l'eau à la configuration des lieux.
Le volume quotidien d'eau nécessaire est V = 35 m3 lorsque les besoins en eau sont importants. Le moteur de la pompe fonctionne pendant les six heures les plus ensoleillées de la journée ; c'est sur cette durée que le volume d'eau quotidien attendu doit être élevé de la hauteur H = 50 m.
Données :
• 1 eV = 1,60 × 10−19 J ;
• constante de Planck : h = 6,63 × 10−34 J.s ;
• la valeur de la célérité de la lumière dans le vide est supposée connue ;
• masse volumique de l'eau : ρ = 1,0 × 103 kg.m−3 ;
• intensité de la pesanteur : g = 9,8 N.kg−1 ;
• rendement d'une conversion d'énergie exprimée en pourcentage (%) : r= \frac{énergie \; utile}{énergie \; reçue}\times 100 ;
• la puissance du rayonnement solaire reçu par l'ensemble des panneaux est le produit de la puissance surfacique du rayonnement solaire par la surface S des panneaux : PreçuPsurf × S .
Sujet national, juin 2016, exercice de spécialité - illustration 2
Principe de fonctionnement des cellules photovoltaïques
« Les cellules photovoltaïques sont constituées de matériaux semi-conducteurs. Quand elles sont éclairées, ces cellules se comportent comme un générateur. Dans les matériaux semi-conducteurs, les diagrammes énergétiques des électrons sont constitués de bandes : on distingue en particulier la bande de valence et la bande de conduction. Ces deux bandes sont séparées d'une énergie Eg appelée gap, caractéristique du matériau. Des électrons peuvent transiter de la bande de valence vers la bande de conduction en absorbant un photon d'énergie supérieure à Eg. C'est ce mécanisme qui donne naissance au courant électrique dans une cellule photovoltaïque.
La puissance du rayonnement solaire reçue par la cellule n'est pas intégralement convertible en puissance électrique. On considère que les photons d'énergie inférieure à Eg ne permettent pas la transition vers la bande de conduction. Il existe alors une longueur d'onde de coupure λC au-delà de laquelle il n'y a aucune conversion.
Les cellules les plus courantes sont constituées de silicium cristallin ou de silicium amorphe. »

Caractéristiques des cellules photovoltaïques utilisables pour la station de pompage
Caractéristiques des cellules photovoltaïques utilisables pour la station de pompage
Types de cellules photovoltaïques
Energie de gap Eg en eV
Rendement global de l'installation *
Avantages
Inconvénients
Cellule en silicium monocristallin
1,12
6,4 %
Très bon rendement
Durée de vie importante
Coût très élevé
Cellule en silicium polycristallin
1,12
5,2 %
Bon rendement
Durée de vie importante
Bon rapport qualité / prix
Rendement faible sous un faible éclairement
Cellule en silicium amorphe
1,77
2,8 %
Faible coût
Bon fonctionnement avec un éclairement faible
Rendement faible
en plein soleil
Courte durée de vie

* Le rendement global de l'installation tient compte du rendement des panneaux solaires et du rendement du dispositif de pompage.
Données météorologiques concernant la région du Sahel malien où se situe le projet
Données météorologiques concernant la région du Sahel malien où se situe le projet
Questions préliminaires
1. Pour l'installation, on souhaite utiliser un matériau dont la longueur d'onde de coupure est λC = 1 110 nm.
Proposer un type de cellule qui pourrait être utilisé en précisant le(s) critère(s) de choix retenu(s).
Les cellules photovoltaïques proposées ne peuvent être différenciées que par leur énergie de gap.
2. Calculer l'énergie nécessaire pour élever 1,0 m3 d'eau d'une hauteur de 50 m.
L'énergie potentielle de pesanteur est une énergie liée à la hauteur d'une masse.
Problème
Estimer la surface totale des panneaux solaires permettant de satisfaire aux besoins en eau au cours d'un mois de l'année où ces besoins sont importants au Sahel malien.
Toutes les initiatives du candidat seront valorisées. La démarche suivie nécessite d'être correctement présentée.
Il faut d'abord déterminer le mois de l'année où les précipitations et la puissance surfacique du rayonnement solaire sont minimales.
Ensuite, après avoir fait une estimation d'une puissance surfacique moyenne pour le mois choisi, on pourra en déduire la puissance lumineuse en fonction de la surface des panneaux solaires et l'énergie lumineuse.
La deuxième relation sera donnée par le rendement de conversion de l'énergie et l'énergie potentielle nécessaire.
La surface découlera des deux relations précédentes.

Corrigé

Questions préliminaires
1. L'énergie de gap correspondant à une longueur d'onde de coupure \lambda _{c}= 1~110 nm est donnée par : \mathrm{E}_{g}= h\frac{c}{\lambda _{c}}.
Application numérique : \mathrm{E}_{g}= 6,63.10^{-34}\frac{3,00.10^{8}}{1 110.10^{-9}}= 1,79.10^{-19} J.
Comme 1 eV= 1,60.10^{-19} J, on arrive à \mathrm{E}_{g}= 1,12 eV.
Cette énergie de gap correspond aux cellules en silicium monocristallin ou polycristallin. Le choix se fera sur d'autres critères, comme le rendement et le rapport qualité/prix.
2. L'énergie pour élever 1,0 m3 d'eau de 50 m correspond à l'énergie potentielle de pesanteur.
D'où \mathrm{E_{pp}}= mgh, soit \mathrm{E_{pp}}= \rho \times \mathrm{V}\times g\times h.
Application numérique : \mathrm{E_{pp}}= 1,0.10^{3}\times 1,0\times 9,8\times 50.
D'où \mathrm{E_{pp}}= 4,9.10^{5}\mathrm{J}.
Problème
Lorsque les besoins sont importants le volume quotidien d'eau nécessaire est V = 35 m3. Pour élever ce volume d'eau de 50 m, il faudra fournir une énergie correspondant à l'énergie potentielle de pesanteur : \mathrm{E_{pp}}= \rho \times \mathrm{V}\times g\times h.
Le rendement de conversion de l'énergie lumineuse en énergie potentielle de pesanteur est donné par : r= \frac{\mathrm{E_{pp}}}{\mathrm{E_{lumineuse}}}\times 100.
D'où \mathrm{E_{lumineuse}}= \frac{\mathrm{E_{pp}}}{r}\times 100, soit \mathrm{E_{lumineuse}}= \frac{\rho \times \mathrm{V}\times g\times h}{r}\times 100.
Les données météorologiques nous indiquent que la période où les besoins en eau sont importants correspond aux mois de novembre à avril. Mais en utilisant le graphique de la puissance surfacique du rayonnement solaire, on en déduit que le mois de janvier doit servir de référence car la puissance surfacique est alors minimale.
La puissance surfacique du rayonnement solaire le 15 janvier varie au cours d'une journée de 790 W.m−2 à 900 W.m−2, ce qui donne en moyenne une puissance égale à \mathrm{P_{surfacique}}= \frac{790+900}{2}.
Soit \mathrm{P_{surfacique}}=845\mathrm{W}.\mathrm{m^{-2}}.
Or \mathrm{E_{lumineuse}}=\mathrm{P_{lumineuse}}\times \Delta t.
Avec \mathrm{P_{lumineuse}}=\mathrm{P_{surfacique}}\times \mathrm{S}.
Donc \mathrm{E_{lumineuse}}=\mathrm{P_{surfacique}}\times \mathrm{S}\times \Delta t.
Égalisons les deux relations donnant l'énergie lumineuse :
\frac{\rho \times \mathrm{V}\times g\times h}{r}\times 100=\mathrm{P_{surfacique}\times S\times \Delta }t.
On en tire : \mathrm{S}=\frac{\rho \times V\times g\times h}{\mathrm{P_{surfacique}\times \mathit{r}\times \Delta \mathit{t}}}\times 100.
Le moteur fonctionne pendant 6 heures et on supposera que le choix s'est porté sur les cellules photovoltaïques ayant le rendement le plus faible (5,2 %).
Application numérique : \mathrm{S=\frac{1,0.10^{3}\times 35\times 9,8\times 50}{945\times 5,2\times 6\times 3 600}}\times 100.
Donc S = 18 m2.
Cette surface est raisonnable et donc envisageable pour le Sahel malien.