Coucher de soleils sur Tatooine (sujet national, juin 2016, exercice 3)

Énoncé

Coucher de soleils sur Tatooine
Dans la saga Star Wars, deux héros, Luke et Anakin Skywalker, ont passé leur enfance sur la planète Tatooine. Cette planète désertique a la particularité d'être en orbite autour de deux étoiles : Tatoo 1 et Tatoo 2.
On se propose de déterminer quelques caractéristiques de cette planète et de ses deux étoiles à partir de données extraites du film.
Sujet national, juin 2016, exercice 3 - illustration 1
Image du film Star wars Episode IV : A new hope (© Lucasfilm Ltd), Luke Skywalker marchant au coucher de soleils.
Données :
• masse et rayon du Soleil et de la Terre :

Soleil
Terre
Masse (kg)
2,0 × 1030
6,0 × 1024
Rayon (km)
7,0 × 105
6,4 × 103

• constante gravitationnelle : G = 6,67 × 10-11 m3.s-2.kg-1 ;
• volume d'une sphère de rayon : V=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
L'orbite de Tatooine
« Impossible d'évoquer la célèbre planète Tatooine, repère de brigands galactiques sur lequel règne le fameux Jabba le Hutt, sans parler de ses deux soleils (ou étoiles).
Cette particularité n'est pas si étonnante quand on considère que les deux tiers des étoiles visibles à l'œil nu font partie d'un système multiple. Le problème n'est donc pas de trouver une étoile double, mais de comprendre comment une planète peut évoluer dans un tel système.
(…) L'orbite de Tatooine pourrait englober ses deux soleils à la fois. Ce type d'orbite n'est stable que si la distance qui sépare la planète de ses soleils est au moins quatre fois plus grande que celle qui sépare les étoiles. Du point de vue de la planète, tout se passe comme si les étoiles ne faisaient qu'une. Peut-on estimer le rayon de l'orbite de Tatooine ? Oui, bien sûr !
(…) Remarquons d'abord que les deux étoiles sont assez semblables à notre Soleil : l'une est jaune et l'autre est orange, laissant supposer qu'elle est un peu plus froide. Si ces deux étoiles étaient trop proches l'une de l'autre, elles devraient être déformées par leur gravité mutuelle. Comme aucune déformation n'est perceptible dans la scène du coucher des soleils, on peut calculer que leur distance est légèrement supérieure à 10 millions de kilomètres. Pour avoir une orbite stable Tatooine doit donc être distante de ces deux étoiles d'au moins 40 millions de kilomètres. En fait, elle ne doit pas être si près, sous peine d'être vraiment trop chaude et totalement inhabitable. Deux cent millions de kilomètres est une bonne position : à cette distance Tatooine reçoit une énergie lumineuse un peu supérieure à celle qui frappe la Terre, ce qui expliquerait son aspect désertique. »
D'après Carte blanche à Roland Lehoucq, astrophysicien, http://www.knowtex.com/nav/les-secrets-de-star-wars_26418.

Les étoiles Tatoo 1 et Tatoo 2
1. En supposant que Tatoo 1 et Tatoo 2 ne sont pas déformées et sont à égale distance de Tatooine, montrer, en s'appuyant sur la photo et sur le texte, que la valeur du rayon de chacune des deux étoiles est environ égale à deux millions de kilomètres. Justifier avec soin la démarche utilisée.
Une photo permet de garder la proportionnalité de la situation. Il faut donc mesurer les distances sur la photo.
On adoptera pour la suite de l'exercice cette valeur commune pour le rayon des deux étoiles.
2. En supposant que les deux étoiles ont la même masse volumique moyenne que le Soleil, évaluer l'ordre de grandeur de la masse MTatoo de Tatoo (1 ou 2). Commenter le résultat obtenu.
En combinant la masse volumique du Soleil et le volume de Tatoo, on en déduit la masse de Tatoo.
Tatooine en orbite
Du point de vue de Tatooine, tout se passe comme si les étoiles ne faisaient qu'une, l'étoile unique équivalente sera appelée Tatoo 1-2 ; sa masse sera prise égale à 9,5 × 1031 kg.
1. Justifier la phrase précédente à l'aide d'informations données dans le texte.
Quel est le rapport entre la masse donnée et la masse d'une seule étoile trouvée à la question précédente ?
2. Faire un schéma du système Tatooine-Tatoo 1-2 et représenter sans souci d'échelle la force d'attraction gravitationnelle exercée par Tatoo 1-2 sur Tatooine ainsi que le vecteur accélération de la planète Tatooine dans le référentiel lié à Tatoo 1-2 considéré comme galiléen.
La force gravitationnelle est toujours attractive.
3. Montrer que le mouvement, supposé circulaire, de la planète dans ce référentiel est uniforme.
La deuxième loi de Newton dans le repère de Frenet donne la relation désirée en considérant l'axe tangent à la trajectoire.
4. Déduire des résultats précédents et du texte, la valeur de la période de révolution de Tatooine. Comparer cette valeur à la période de révolution de la Terre autour du Soleil.
Le raisonnement précédent est à poursuivre, mais en projetant sur la perpendiculaire à la trajectoire (porté par le vecteur unitaire \vec{n}).
La planète faisant une révolution complète en une période on pourra ainsi en déduire la période de Tatooine.

Corrigé

Les étoiles Tatoo 1 et Tatoo 2
1. Le texte de l'énoncé nous dit que la distance séparant les deux étoiles est d'environ 10 millions de kilomètres.
Soit dTatoo1-Tatoo2 = 10.106 km
En mesurant directement sur la photo, on a 1,8 cm entre les deux centres des deux étoiles. Cela nous permet d'avoir une échelle sur la photo.
Puisque le diamètre d'une étoile sur la photo est de 0,7 cm, le rayon est 0,35 cm.
1,8 cm

10.106 km dans la réalité
0,35 cm

Rayon d'une étoile r

r=\frac{0,35\times 10.10^{6}}{1,8} soit r ≈ 2.106 km
2. La masse de chaque étoile : M_{Tatoo}=\rho _{Tatoo} \times V_{Tatoo}
Or la masse volumique de chaque étoile est la même que celle du Soleil, qui est :
\rho _{soleil}=\frac{M_{soleil}}{V_{soleil}}=\frac{M_{soleil}}{\frac{4}{3}\pi r_{soleil}^{3}}
D'où M_{Tatoo}=\frac{M_{soleil}}{\frac{4}{3}\pi r_{soleil}^{3}}\times V_{Tatoo}=\frac{M_{soleil}}{\frac{4}{3}\pi r_{soleil}^{3}}\times \frac{4}{3}\pi r_{Tatoo}^{3}
Soit M_{Tatoo}=\frac{M_{soleil}}{r_{soleil}^{3}}\times r_{Tatoo}^{3}
Application numérique : M_{Tatoo}=\frac{2,0.10^{30}}{(7,0.10^{8})^{3}}\times (2.10^{9})^{3}
M_{Tatoo} = 4,7.1031 kg
Ordre de grandeur : 1031 kg
Chaque étoile Tatoo est \frac{4,7.10^{31}}{2,0.10^{30}} = 23 fois plus lourde que le soleil.
Tatooine en orbite
1. La situation est :
Sujet national, juin 2016, exercice 3 - illustration 2
Donc sin\alpha =\frac{5.10^{5}}{200.10^{6}} ce qui donne α = 0,0025 rad = 0,14°
Comme l'angle est très faible du point de vue de Tatooine, tout se passe comme si les deux étoiles étaient confondues avec une masse double :
4,7.1031 × 2 = 9,4.1031 kg qui est une masse proche de la masse donnée.
2. Le schéma du système :
Sujet national, juin 2016, exercice 3 - illustration 3
3. Le système est Tatooine.
Le référentiel tatoocentrique est supposé galiléen.
La seule force qui s'applique est la force gravitationnelle.
Plaçons-nous dans le repère de Frenet :
Sujet national, juin 2016, exercice 3 - illustration 4
La force gravitationnelle s'exprime dans ce repère \vec{F_{grav}}=G\frac{M_{r_{1-2}}\times M_{Tatooine}}{d_{T12/T^{2}}}\vec{n} et \vec{a} {\binom {\frac{d\upsilon }{dt}} {\frac{\upsilon ^{2}}{d_{T12/T}}}}
La deuxième loi de Newton nous donne : \vec{F_{grav}}=M_{Tatooine}\times \vec{a}
Soit \left ( G\frac{M_{T_{1-2}}\times _{M_{Tatooine}}^{0}}{d_{T12/T^{2}}} \right )=M_{Tatooin}\times\binom{\frac{d\nu }{dt}}{\frac{\nu ^{2}}{d_{T12/T}}}
Selon l'axe porté par le vecteur unitaire \vec{t}, on en déduit d'où \frac{d\nu }{dt}=0 d'où \nu =\mathrm{cst}.
Le mouvement est uniforme.
4. Reprenons le raisonnement précédent, mais selon l'axe porté par le vecteur unitaire \vec{n}. On en déduit :
G\frac{M_{T1-2}\times M_{Tatooine}}{d_{T12/T^{2}}}=M_{Tatooine}\times \frac{\nu ^{2}}{d_{T12/T}}
Soit \upsilon ^{2}=G\frac{M_{T1-2}}{d_{T12/T}}
Or la planète fait un tour de révolution (soit un périmètre de 2\pi d_{T12/T}) pendant une période T. Comme la vitesse est constante, on peut écrire : \upsilon =\frac{2\pi d_{T12/T}}{T}
Soit \upsilon ^{2}=\frac{4\pi d_{\frac{T12}{T}}^{2}}{T^{2}}
En égalisant les deux relations de la vitesse on a :
G\frac{M_{T1-2}}{d_{}\frac{T12}{T}}=\frac{4\pi ^{2}d_{\frac{T12}{T}}^{2}}{T^{2}}.
Soit G M_{T1-2}\times T^{2}=4\pi ^{2}d_{T12/T^{3}}
D'où T=\sqrt{\frac{4\pi ^{2}d_{T12/T^{3}}}{G M_{T1-2}}}
Application numérique : T=\sqrt{\frac{4\pi ^{2}(200.10^{9})^{3}}{6,67.10^{-11}\times 9,5.10^{31}}}
T = 7,1.106 s
En divisant par 3 600 : T = 2,0.103 h
En divisant par 24 : T = 82 j
Sachant qu'une révolution terrestre dure 365,25 j, on voit que \frac{365,25}{82}=4,5
L'année sur Tatooine est 4,5 fois plus courte que sur Terre.