De l'effet Doppler à ses applications (sujet national, juin 2016, exercice 1)

Énoncé

De l'effet Doppler à ses applications

Christian Doppler, savant autrichien, propose en 1842 une explication de la modification de la fréquence du son perçu par un observateur immobile lorsque la source sonore est en mouvement. Buys-Ballot, scientifique hollandais, vérifie expérimentalement la théorie de Doppler en 1845, en enregistrant le décalage en fréquence d'un son provenant d'un train en mouvement et perçu par un observateur immobile.
On se propose de présenter l'effet Doppler puis de l'illustrer au travers de deux applications.
Sujet national, juin 2016, exercice 1 - illustration 1
Mouvement relatif d'une source sonore et d'un détecteur
Nous nous intéressons dans un premier temps au changement de fréquence associé au mouvement relatif d'une source sonore S et d'un détecteur placé au point M (figure 1). Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre dans lequel le détecteur est immobile. Une source S émet des « bips » sonores à intervalles de temps réguliers dont la période d'émission est notée T0. Le signal sonore se propage à la célérité vson par rapport au référentiel terrestre.
Figure 1
Schéma représentant une source sonore immobile (cas A), puis en mouvement (cas B)
Schéma représentant une source sonore immobile (cas A), puis en mouvement (cas B)
1. Cas A : la source S est immobile en x = 0 et le détecteur M, situé à la distance d, perçoit chaque bip sonore avec un retard lié à la durée de propagation du signal.
a) Définir par une phrase, en utilisant l'expression « bips sonores », la fréquence f0 de ce signal périodique.
Définition d'une fréquence.
b) Comparer la période temporelle T des bips sonores perçus par le détecteur à la période d'émission T0.
L'effet Doppler ne s'applique pas ici.
2. Cas B : la source S, initialement en x = 0, se déplace à une vitesse constante vS suivant l'axe Ox en direction du détecteur immobile. La vitesse vS est inférieure à la célérité vson. On suppose que la source reste à gauche du détecteur.
Le détecteur perçoit alors les différents bips séparés d'une durée T{}'=T_{0}\left ( 1-\frac{\nu_{s}}{\nu _{\mathrm{son}}} \right ).
Indiquer si la fréquence f{}' des bips perçus par le détecteur est inférieure ou supérieure à la fréquence f0 avec laquelle les bips sont émis par la source S. Justifier.
Attention à raisonner en fréquence alors que la relation donnée concerne la période.
On arrivera au même phénomène que pour le son d'une ambulance qui nous paraît plus aigu quand elle se rapproche de nous.
La vélocimétrie Doppler en médecine
La médecine fait appel à l'effet Doppler pour mesurer la vitesse d'écoulement du sang dans les vaisseaux sanguins (figure 2).
Un émetteur produit des ondes ultrasonores qui traversent la paroi d'un vaisseau sanguin. Pour simplifier, on suppose que lorsque le faisceau ultrasonore traverse des tissus biologiques, il rencontre :
– des cibles fixes sur lesquelles il se réfléchit sans modification de la fréquence ;
– des cibles mobiles, comme les globules rouges du sang, sur lesquelles il se réfléchit avec une modification de la fréquence ultrasonore par effet Doppler (figure 3).
Figure 2
Vitesse moyenne du sang dans différents vaisseaux sanguins
Vitesse moyenne du sang dans différents vaisseaux sanguins
© 2011 Pearson.
Figure 3
Principe de la mesure d'une vitesse d'écoulement sanguin par effet Doppler (échelle non respectée)
Principe de la mesure d'une vitesse d'écoulement sanguin par effet Doppler (échelle non respectée)
L'onde ultrasonore émise, de fréquence fE = 10 MHz, se réfléchit sur les globules rouges qui sont animés d'une vitesse v. L'onde réfléchie est ensuite détectée par le récepteur.
La vitesse v des globules rouges dans le vaisseau sanguin est donnée par la relation V=\frac{V_{\mathrm{ultrason}}}{2\mathrm{cos}\theta }\cdot \frac{\Delta f}{f_{\mathrm{E}}} où Δf est le décalage en fréquence entre l'onde émise et l'onde réfléchie, vultrason la célérité des ultrasons dans le sang et θ l'angle défini sur la figure 3.
On donne vultrason = 1,57 × 103 m.s-1 et θ = 45°.
1. Le décalage en fréquence mesuré par le récepteur est de 1,5 kHz. Identifier le(s) type(s) de vaisseaux sanguins dont il pourrait s'agir.
C'est une simple application numérique, mais il faut rester vigilant sur les conversions d'unités données dans l'énoncé et sur le nombre de chiffres significatifs que doit contenir le résultat.
2. Pour les mêmes vaisseaux sanguins et dans les mêmes conditions de mesure, on augmente la fréquence des ultrasons émis fE. Indiquer comment évolue le décalage en fréquence Δf. Justifier.
Il faut transposer la relation de l'énoncé donnant la vitesse des globules rouges.
Détermination de la vitesse d'un hélicoptère par effet Doppler
On s'intéresse à un son émis par un hélicoptère et perçu par un observateur immobile. La valeur de la fréquence de l'onde sonore émise par l'hélicoptère est f0 = 8,1 × 102 Hz. On se place dans le référentiel terrestre pour toute la suite de cette partie.
Les portions de cercles des figures 4 et 5 ci-dessous donnent les maxima d'amplitude de l'onde sonore à un instant donné. Le point A schématise l'hélicoptère. Dans le cas de la figure 4, l'hélicoptère est immobile. Dans le cas de la figure 5, il se déplace à vitesse constante le long de l'axe et vers l'observateur placé au point O. La célérité du son dans l'air est indépendante de sa fréquence.
Sujet national, juin 2016, exercice 1 - illustration 5
Sujet national, juin 2016, exercice 1 - illustration 6
1. Déterminer, avec un maximum de précision, la longueur d'onde λ0de l'onde sonore perçue par l'observateur lorsque l'hélicoptère est immobile, puis la longueur d'onde λ' lorsque l'hélicoptère est en mouvement rectiligne uniforme.
La mesure de plusieurs longueurs d'onde donnera une meilleure précision. Il y a deux longueurs d'onde à déterminer.
2. En déduire une estimation de la valeur de la célérité de l'onde sonore. Commenter la valeur obtenue.
C'est un calcul de célérité d'une onde périodique en utilisant la bonne longueur d'onde (sans que l'effet Doppler s'applique)
La valeur de la célérité devra être mise en mémoire de la calculatrice pour éviter les erreurs dans les questions suivantes.
3. Déterminer la fréquence du son perçu par l'observateur lorsque l'hélicoptère est en mouvement. Cette valeur est-elle en accord avec le résultat de la question 1. b) ? Comment la perception du son est-elle modifiée ?
Il faut faire attention à ne pas se tromper de valeur de longueur d'onde (celle avec effet Doppler ici).
La valeur de la fréquence trouvée devra être mise en mémoire de la calculatrice pour éviter la répercussion des erreurs à la question suivante.
4. En déduire la valeur de la vitesse de l'hélicoptère. Cette valeur vous paraît-elle réaliste ?
La relation à utiliser est celle donnant la période perçue par le détecteur de la première partie qu'il faut transposer. Les valeurs numériques trouvées aux questions précédentes ne doivent pas être arrondies.

Corrigé

Mouvement relatif d'une source sonore et d'un détecteur
1. Cas A 
a) La fréquence f_{0} de ce signal périodique est le nombre de « bips sonores » par seconde.
b) Dans le cas où la source S est immobile par rapport au détecteur M, la période perçue \mathrm{T} est la même que la période \mathrm{T}_{0} des « bips sonores » émis par la source :
\mathrm{T}=\mathrm{T}_{0}
2. Cas B Dans le cas B, la période est donnée par : \mathrm{T{}'}=\mathrm{T}_{0}\left ( 1 - \frac {\nu _{\mathrm{s}}} {\nu_{\mathrm{son}}} \right ).
Comme {\nu _{\mathrm{s}}} < {\nu_{\mathrm{son}}} d'après l'énoncé, alors \frac{\nu _{\mathrm{s}}}{\nu _{\mathrm{son}}}< 1
Et 1-\frac{\nu _{\mathrm{s}}}{\nu _{\mathrm{son}}}< 1
Donc \mathrm{T{}'}< \mathrm{T}_{0}
Et comme f=\frac{1}{\mathrm{T}}
Alors f{ }'> f_{0}
La fréquence perçue par le détecteur est plus aiguë que la fréquence émise par la source.
La vélocimétrie Doppler en médecine
1. Avec la relation donnant la vitesse \nu des globules rouges de l'énoncé :
\nu =\frac{\nu _{\mathrm{ultrason}}}{2\mathrm{cos}\theta }\cdot \frac{\Delta f}{f_{\mathrm{E}}}
Application numérique : \nu =\frac{1,57\cdot 10^{3}}{2 \; \mathrm {cos} 45 }\cdot \frac{1,5\cdot 10^{3}}{10\cdot 10^{6}}
\nu =0,17 \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}=17 \mathrm{cm}\cdot \mathrm{s}^{-1}
À l'aide du graphique, on en déduit que les vaisseaux ayant cette vitesse d'écoulement sont soit les artérioles soit les veines.
2. Avec la relation précédente \nu =\frac{\nu _{\mathrm{ultrason}}}{2 \; \mathrm{cos}\theta }\cdot \frac{\Delta f}{f_{\mathrm{E}}}, on obtient :
\Delta f=2f_{\mathrm{E}}\cdot \mathrm{cos} \theta \cdot \frac{\nu }{\nu _{\mathrm{ultrason}}}
\nu _{\mathrm{ultrason}}, \nu et θ restent constants.
Si la fréquence f_{\mathrm{E}} augmente alors \Delta f augmente aussi puisque ces deux grandeurs sont proportionnelles.
Détermination de la vitesse d'un hélicoptère par effet Doppler
1. La longueur d'onde \lambda _{0} s'obtient grâce à la figure 4.
Pour une meilleure précision, on trouve 5 λ = 2,6 cm
Soit \lambda =\frac{2,6}{5} d'où λ= 0,52 cm sur la figure.
1,2 cm

1,0 m dans la réalité
0,52 cm

\lambda _{0}

L'échelle de la figure donne :
Soit \lambda =\frac{0,52\times 1,0}{1,2} d'où \lambda _{0} = 0,43 m
On fait de même pour la figure 5.
5 λ = 2,1 cm
Soit \lambda =\frac{2,1}{5} d'où λ = 0,42 cm sur la figure.
1,2 cm

1,0 m dans la réalité
0,42 cm

\lambda{}'

L'échelle de la figure donne :
Soit \lambda{}'=\frac{0,45\times 1,0}{1,2} d'où \lambda{}' = 0,35 m
2. La célérité d'une onde périodique est donnée par \nu =\lambda \cdot f
Or ici \lambda =\lambda _{0} = 0,43 m
Et f=f_{0} = 8,1·102 Hz
D'où \nu =0,43\times 8,1\cdot 10^{2} soit \nu =3,5\cdot 10^{2} \mathrm{m}\cdot s^{-1}
Cette valeur est concordante avec la célérité du son dans l'air compte tenu des incertitudes.
3. La fréquence perçue par l'observateur avec \nu =\lambda {}'\cdot f{}'.
D'où f{}'=\frac{\nu }{\lambda {}'} soit f{}'=\frac{3,5\cdot 10^{2}}{0,35} donc f{}' = 1,0·103 Hz.
On voit que f{}'> f_{0}. Le son est perçu avec une fréquence plus grande lorsque la source et l'observateur s'approchent l'un de l'autre : il est donc plus aigu. Ce résultat est identique à celui de la question 2.
4. On utilise la relation donnant la période du son perçu par le détecteur de la première partie :
\mathrm{T}{}'=\mathrm{T}_{0}\left ( 1-\frac{\nu _{\mathrm{H}}}{\nu _{\mathrm{son}}} \right ) avec \nu _{\mathrm{H}} la vitesse de l'hélicoptère.
Or, comme \mathrm{T}=\frac{1}{f{}'}, on a : \frac{1}{f{}'}=\frac{1}{f_{0}}\left ( 1-\frac{\nu _{\mathrm{H}}}{\nu _{\mathrm{son}}} \right ).
Soit \frac{f_{0}}{f{}'}= 1-\frac{\nu _{\mathrm{H}}}{\nu _{\mathrm{son}}} d'où \frac{f_{0}}{f{}'}-1=-\frac{\nu _{H}}{\nu _{son}} soit \nu _{H}=\nu _{son}\left ( 1-\frac{f_{0}}{f{}'} \right ).
Application numérique : \nu _{H}=3,51\cdot 10^{2}\left ( 1-\frac{8,1\cdot 10^{2}}{1,0029\cdot 10^{3}} \right ) d'où \nu _{H}= 68 m·s−1.
En multipliant par 3,6 on arrive à :  \nu _{H} = 2,4·102 km·h−1 qui est une valeur plausible pour un hélicoptère.