Les trois records de Félix Baumgartner (sujet national, juin 2015, exercice 1)

Énoncé

Les trois records de Félix Baumgartner
Le 14 octobre 2012, Félix Baumgartner a réalisé un saut historique en inscrivant trois records à son tableau de chasse : celui de la plus haute altitude atteinte par un homme en ballon soit 39 045 m d'altitude, le record du plus haut saut en chute libre, et le record de vitesse en chute libre soit 1 341,9 km.h−1. Après une ascension dans un ballon gonflé à l'hélium, il a sauté vers la Terre, vêtu d'une combinaison spécifique en ouvrant son parachute au bout de 4 min et 20 s. Le saut a duré en totalité 9 min et 3 s.
Sujet national, juin 2015, exercice 1 - illustration 1
Ascension du ballon
« Il a fallu concevoir un ballon déformable gigantesque, faisant 100 m de hauteur et 130 m de diamètre lors de son extension maximale. En raison de la diminution de la densité de l'air avec l'altitude, le volume du ballon augmente lors de l'ascension de façon à ce que la poussée d'Archimède reste constante.
« Pour assurer une vitesse d'ascension suffisante, le volume initial d'hélium utilisé était de 5 100 mètres cubes, c'est-à-dire le double du nécessaire pour la sustentation(1). En pratique, si l'on ajoute à la masse de l'équipage celle du ballon et de l'hélium, c'est environ 3 tonnes qu'il a fallu soulever. » »
Source : d'après un article de Pour la Science, janvier 2013.

Étude du saut de Félix Baumgartner
« La masse de Félix Baumgartner et de son équipement est m = 120 kg.
La date t = 0 correspond au début du saut de Félix Baumgartner. »

Courbe 1 : évolution temporelle de la vitesse v de Félix Baumgartner, dans le référentiel terrestre, jusqu'à l'ouverture du parachute
Courbe 1 : évolution temporelle de la vitesse v de Félix Baumgartner, dans le référentiel terrestre, jusqu'à l'ouverture du parachute
Courbe 2 : évolution temporelle de l'altitude z par rapport au sol de Félix Baumgartner, jusqu'à l'ouverture du parachute
Courbe 2 : évolution temporelle de l'altitude z par rapport au sol de Félix Baumgartner, jusqu'à l'ouverture du parachute
Source : d'après www.dailymotion.com/video/x15z8eh-the-full-red-bull-stratos-mission-multi-angle-cameras-sport.
Données :
• l'expression de la poussée d'Archimède exercée par l'air sur un corps est la suivante :
\overrightarrow{F_A} = \rho_{air}.V.g.\overrightarrow{u_Z}, avec \overrightarrow{u_Z} vecteur unitaire vertical vers le haut, \rho_{air} (kg.m−3) masse volumique de l'air dans lequel est plongé le corps, V (m3 ) volume du corps placé dans l'air et g intensité du champ de pesanteur ;
• l'intensité du champ de pesanteur est considérée comme constante entre le niveau de la mer et l'altitude de 39 km : g = 9,8 m.s−2 ;
• la stratosphère est la couche de l'atmosphère qui s'étend de 10 à 50 km d'altitude environ ;
• la masse volumique de la partie supérieure de la stratosphère est de l'ordre de 0,015 kg.m−3, celle de la troposphère au niveau du sol est 1,22 kg.m−3 ;
• la célérité du son dans l'air en fonction de l'altitude est donnée dans le tableau ci-dessous :
Altitude (km)
10
20
30
40
Célérité du son (m.s−1)
305
297
301
318

• la vitesse d'un mobile dans un fluide est dite supersonique si elle est supérieure à la célérité du son dans ce fluide.
Ascension en ballon sonde de Félix Baumgartner
Le volume de l'équipage est négligeable par rapport au volume du ballon.
1. 
Indiquer la force qui est responsable de l'ascension du ballon.
On cherche la seule force qui s'exerce du bas vers le haut.
2. 
Faire le bilan des forces qui s'exercent sur le système {ballon ; équipage} juste après le décollage, en négligeant les forces de frottement. Illustrer ce bilan de forces par un schéma, sans souci d'échelle mais cohérent avec la situation physique.
Faites un bilan des forces, mais restez cohérent avec le sujet quant à l'intensité relative des forces appliquées au système.
3. 
En utilisant les données, les informations du texte et les connaissances acquises, vérifier par un calcul que le ballon peut décoller.
Calculez l'intensité de chaque force. Il faut faire attention à convertir les données dans les unités du système international et à bien choisir la masse volumique de l'air.
N'oubliez pas de mettre le bon nombre de chiffres significatifs à chaque résultat.
4. 
Après quelques minutes d'ascension, le mouvement du système {ballon ; équipage} est considéré comme rectiligne uniforme. Déterminer alors la valeur de la force de frottement de l'air.
Le mouvement est rectiligne uniforme, cela implique l'utilisation d'une des lois de Newton.
Saut de Félix Baumgartner
On étudie maintenant le système {Félix Baumgartner et son équipement} en chute verticale dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen. On choisit un axe (Oz) vertical vers le haut dont l'origine O est prise au niveau du sol. Le système étudié, noté S, a une vitesse initiale nulle.
On négligera la poussée d'Archimède.
1. 
Utiliser l'étude du saut de Félix Baumgartner (courbe 1) afin de déterminer la valeur de son accélération si t  < 20 s. Commenter le résultat obtenu.
La courbe 1 indique que la vitesse est proportionnelle au temps.
2. 
Lors de son saut, Félix Baumgartner a-t-il atteint une vitesse supersonique ? Justifier.
Il faut simplement extraire et exploiter l'information des documents donnés.
3. 
Calculer la variation d'énergie mécanique ΔEm entre le moment où Félix Baumgartner saute et le moment où il atteint sa vitesse maximale. Interpréter le résultat.
Revenez à la définition de l'énergie mécanique, puis calculez l'énergie mécanique à l'instant où la vitesse est maximale et à l'instant du saut. Les données manquantes sont à extraire des documents.
4. 
Les schémas ci-dessous représentent à trois instants les forces appliquées au système S lors du saut : le poids \vec{P} et la force \vec{f} modélisant les frottements. Affecter un schéma à chacune des dates : t1 = 40 s, t2 = 50 s et t3 = 60 s.
Sujet national, juin 2015, exercice 1 - illustration 4
Les trois dates données correspondent à des moments distincts lors du saut. L'étude du début de saut a été faite juste avant.
Il faut s'aider également de la courbe représentative de la vitesse en fonction du temps (courbe 1).
5. 
Déterminer l'altitude à laquelle Félix Baumgartner ouvre son parachute. En supposant que le système a un mouvement rectiligne et uniforme après l'ouverture du parachute et jusqu'à l'arrivée au sol, déterminer la valeur de la vitesse du système durant cette phase du mouvement. On rappelle que le saut a duré en totalité 9 min et 3 s.
Il faut extraire et exploiter les documents donnés : la courbe 2 pour l'altitude et les données du texte introductif pour trouver la vitesse.
6. 
Pour acquérir la même vitesse à l'arrivée au sol, de quel étage d'un immeuble Félix Baumgartner aurait-il dû sauter ? Commenter.
On peut considérer que le mouvement est une chute libre et ainsi appliquer la conservation de l'énergie.
(1)Sustentation : état d'un corps maintenu à faible distance au-dessus d'une surface, sans contact avec celle-ci.

Corrigé

Ascension en ballon sonde de Félix Baumgartner
1. La force responsable de l'ascension du ballon est la poussée d'Archimède.
Sujet national, juin 2015, exercice 1 - illustration 5
2. Le système est {ballon ; équipage} .
Le référentiel : terrestre supposé Galiléen.
Le bilan des forces juste après le décollage :
  • le poids \vec{P} de direction verticale, de sens vers le bas ;
  • la poussée d'Archimède \overrightarrow{P_A} de direction verticale, de sens vers le haut.
3. Calcul de l'intensité du poids : P = m.g,
Comme m = 3 , t = 3.103 kg.
Soit P = 3.103 × 9,8 = 3.104 N.
Calcul de l'intensité de la poussée d'Archimède : FA = \rho_{air}.V.g.
La masse volumique de la troposphère est \rho_{air} = 1,22\,kg.m^{-3}.
Le volume du ballon est V = 5 100 m3, on va supposer que le volume de Félix Baumgartner est négligeable devant celui du ballon.
Soit FA = 1,22 × 5 100 × 9,8 = 6,1.104 N.
Comme l'intensité de la poussée d'Archimède est supérieure à l'intensité du poids, le ballon monte.
4. D'après le principe de l'inertie ou première loi de Newton : dans un référentiel galiléen, si le mouvement est rectiligne uniforme (la vitesse est constante) alors la résultante de la force qui s'applique sur le système est nulle ; c'est-à-dire \vec{P}\,+\,\overrightarrow{F_A}\,+\,\vec{f}=\vec{0} avec \vec{f} la force de frottement de l'air.
Celle-ci est opposée au mouvement (cf. figure) :
Sujet national, juin 2015, exercice 1 - illustration 6
Projetons sur un axe vertical dirigé vers le haut : FA − P − f = 0.
Soit f = FA − P. Numériquement f = 6,1.104 − 3.104 = 3,1.104 N.
Saut de Félix Baumgartner
1. Par définition, l'accélération est donnée par la relation suivante : \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{d{t}}. Comme la vitesse et le temps sont proportionnels, d'après la courbe 1, on peut considérer l'approximation suivante : a = \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}.
Soit le point O (0, 0) et le point M (20, 195), a = \frac{195-0}{20-0} = 9,8 m.s−2.
On voit que l'accélération du système a la même valeur que l'intensité de la pesanteur. En appliquant la deuxième loi de Newton, lors de la chute libre (donc en négligeant la force de frottement de l'air), dans un référentiel galiléen : \vec{P} = m\vec{a}, soit m\vec{g} = m\vec{a}, d'où \vec{a} = \vec{g}.
2. Le texte annonce une vitesse en chute libre de 1 341,9 km.h−1. Dans le système international, cette vitesse équivaut à \frac{1341,9}{3600/1000} = 372,75 m.s−1.
Le tableau donné indique une vitesse au maximum égale à 318 m.s−1.
La vitesse de Félix Baumgartner est donc bien supérieure à la célérité du son quelle que soit l'altitude. Elle est donc dite supersonique.
3. Variation de l'énergie mécanique :
ΔEm = Em (vitesse maximale) − Em (saut) ;
ΔEm = Ec (vitesse maximale) + Ep (vitesse maximale) − Ec (saut) − Ep (saut) ;
ΔEm = 1/2 m vmax2 + m g h (hauteur pour la vitesse maximale) − 1/2 m vsaut2 − m g h (saut).
vmax = 372,75 m.s−1
h (hauteur pour la vitesse maximale) = 28 km. Avec la courbe 1, la vitesse maximale est atteinte pour 50 s, à reporter sur la courbe 2.
vsaut = 0 m.s−1
h (saut) = 39 045 m
Numériquement :
ΔEm = 1/2 × 120 × 372,752 + 120 × 9,8 × 28 000 − 0 − 120 × 9,8 × 39 045 ;
ΔEm = −4,7.106 J.
La variation d'énergie mécanique est négative : le système perd de l'énergie. Ceci est dû aux forces de frottement. L'énergie est dissipée sous forme de chaleur.
4. Les trois dates données correspondent à trois moments où les phénomènes physiques sont différents :
Pour t1 = 40 s, la vitesse et le temps sont proportionnels. L'accélération est constante. Lors de l'application de la seconde loi de Newton, la résultante des forces a même sens et même direction que l'accélération, qui est dirigée vers le bas. Le seul schéma qui présente une résultante des forces dirigée vers le bas est le schéma B.
Pour t2 = 50 s, la vitesse maximale est atteinte et constante. La résultante des forces est donc nulle, cela correspond au schéma C.
Pour t3 = 60 s, la vitesse diminue. La résultante des forces est dirigée vers le haut. Le schéma A correspond à cette situation.
5. Félix Baumgartner ouvre son parachute au bout de 4 min et 20 s, soit 260 s.
À l'aide de la courbe 2, l'altitude correspondante est 2,5 km.
On suppose que le mouvement est rectiligne et uniforme après l'ouverture du parachute. La vitesse est constante et est une fonction linéaire du temps, soit v = \frac{d}{\Delta{t}}.
Le saut a duré en totalité 9 min et 3 s, soit 543 s. Le parachute s'ouvre au bout de 260 s.
Δt = 543 − 260 = 283 s. Numériquement, v = \frac{2,5.10^3}{283} = 8,8 m.s−1.
6. Sans le parachute, Félix Baumgartner serait en chute libre (en négligeant la force de frottement). L'énergie mécanique se conserve entre le moment du saut et le sol.
Au moment du saut, on considère la vitesse initiale nulle. Au niveau du sol, l'altitude est nulle.
Em (au moment du saut) = Em (sol) ;
Ec (au moment du saut) + EP (au moment du saut) = Ec (sol) + EP(sol) ;
0 + m g h = 1/2 m vsol2 + 0 ;
D'où h = \frac{v_{sol}^{2}}{2g}, soit h = \frac{8,8^{2}}{2\times9,8}, d'où h = 4,0 m.
Félix Baumgartner aurait pu atteindre la même vitesse en sautant d'un étage environ.