Un voyage interplanétaire (sujet national, juin 2014, exercice 3)

Énoncé

Voyage interplanétaire
La mission Mars Science Laboratory
« Le lancement du robot Curiosity de la mission Mars Science Laboratory (MSL) a eu lieu le samedi 26 novembre 2011. Il s'est posé sur le sol martien le 6 août 2012. Ce robot transporte du matériel scientifique destiné à l'analyse de la composition du sol et de l'atmosphère martienne.
Le but de cet exercice est d'évaluer les conditions à respecter sur les positions relatives de la Terre et de Mars lors du lancement du robot Curiosity. »

Vue d'artiste du robot Curiosity
Vue d'artiste du robot Curiosity
Données :
• distance Soleil-Terre : R1 = 1,50 × 108 km ;
• distance Soleil-Mars : R2 = 2,28 × 108 km ;
• période de révolution de Mars autour du Soleil : 1,88 an ;
• constante de gravitation universelle : G = 6,67 × 10−11 m3.kg−1.s-2 ;
• masse du Soleil Ms = 1,99 × 1030 kg.
Document 1
Orbite de Hohmann
« Dès les années 1920, Walter Hohmann étudie la manière la plus économique en énergie pour se rendre d'une planète à une autre.
Pour un voyage interplanétaire entre la Terre et Mars, la trajectoire du vaisseau est une ellipse de centre O. On appelle cette ellipse de demi-grand axe a l'orbite de Hohmann. Le périhélie P (point le plus proche du Soleil) est sur l'orbite de la Terre et l'aphélie A (point le plus éloigné du Soleil) sur celle de Mars. Pour simplifier, les orbites de Mars et de la Terre autour du Soleil sont considérées comme circulaires et contenues dans la même plan.
Pour que ce voyage interplanétaire soit réussi, il faut d'abord que le vaisseau échappe à l'attraction de la Terre, puis qu'il utilise l'attraction du Soleil pour rejoindre le voisinage de Mars en empruntant une orbite de transfert, dite orbite de Hohmann. Dans l'étape finale, c'est l'interaction gravitationnelle avec Mars qui doit être prépondérante pour que Curiosity puisse se poser sur son sol. »

Sujet national, juin 2014, exercice 3 - illustration 2
Document 2
Conditions de rencontre entre Curiosity et Mars
« La figure ci-dessous donne les positions de la Terre et de Mars au moment du départ et de l'arrivée de Curiosity.
Mars accomplit une orbite complète de 360° en 1,88 an.
On suppose que les deux planètes décrivent un mouvement circulaire et uniforme pendant le temps du voyage. On lance le vaisseau de la Terre lorsque Mars se trouve au point M1 sur son orbite, position initiale repérée par l'angle α représenté ci-dessous. Le point M2 représente le lieu de rendez-vous entre le vaisseau et Mars.
On note β l'angle \widehat{(\mathrm {SM1}, \mathrm {SM2})}. »

Sujet national, juin 2014, exercice 3 - illustration 3
Source : d'après http://acces.ens-lyon.fr.
1. Indiquer les différentes phases du voyage de la mission MSL.
2. 
Sur le schéma ci-dessous, repasser en couleur le chemin suivi par MSL et indiquer les distances R1 et R2 introduites dans les données. Montrer que la valeur du demi-grand axe de l'orbite de Hohmann est a = 1,89 × 108 km.
Sujet national, juin 2014, exercice 3 - illustration 4
Utilisez les informations données à la question précédente pour indiquer le chemin suivi par MSL.
3. 
La troisième loi de Kepler permet d'écrire \frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4\pi^{2}}{\mathrm GM}_{\mathrm s}, où a est le demi-grand axe de l'ellipse, T la période pour parcourir la totalité de l'ellipse, G la constante de gravitation universelle et Ms la masse du Soleil.
a) Exprimer la durée Δt du voyage de Curiosity en fonction de a, G et Ms et vérifier l'homogénéité de cette relation par une analyse dimensionnelle.
Utilisez la loi de Képler qui est rappelée.
b) Calculer la durée Δt. Commenter le résultat obtenu par rapport à la durée de la mission.
4. Déterminer la valeur de l'angle α qui repère la position de Mars au départ, condition nécessaire à la réussite de la mission.
Le candidat est invité à noter ses pistes de recherche. La démarche suivie est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.
La question précédente nous a donné la durée de la mission. Connaissant la période de révolution de Mars, que vaut l'angle β ?

Corrigé

1. Différentes phases du voyage de la mission MSL :
  • phase 1 : lancement depuis la Terre ;
  • phase 2 : déplacement du vaisseau sur l'orbite de Hohmann en utilisant l'attraction du Soleil ;
  • phase 3 : attraction par Mars et atterrissage.
2. Déterminons le demi-grand axe de l'orbite de Hohmann :
AP = 2a = R1 + R2.
Donc a=\frac{R_{1}+R_{2}}{2}.
Numériquement : a=\frac{1,50.10^{11}+2,28.10^{11}}{2}, soit a = 1,89.1011 m.
Sujet national, juin 2014, exercice 3 - illustration 5
3. 
a) MSL parcourt l'ellipse pendant la durée T. D'après le schéma, MSL parcourt seulement la moitié de l'ellipse pendant Δt. Donc 2Δt = T.
Avec la troisième loi de Kepler appliquée à MSL, on a :
\frac{(2\Delta t)^{2}}{a^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{\mathrm G.M_{S}} ;
(2\Delta t)^{2}=\frac{4\pi^{2}}{\mathrm G.M_{S}}.a^{3} ;
\Delta t^{2}=\frac{\pi^{2}}{\mathrm G.M_{S}}.a^{3} ;
soit \Delta t=\sqrt{\frac{\pi^{2}}{\mathrm G.M_{S}}.a^{3}}.
Vérifions l'homogénéité de la relation :
[\Delta t]=\left[\sqrt{\frac{\pi^{2}}{\mathrm G.M_{S}}.a^{3}}\right] ;
[\Delta t]=\left[\frac{\pi}{\mathrm G^{1/2}.M_{S}^{1/2}}.a^{3/2}\right] ;
[\Delta t]=\frac{1}{[\mathrm G^{1/2}].[M_{S}^{1/2}]}.[a^{3/2}].
Or, [\mathrm {G]=L^{3}.M^{-1}.T^{-2}}, donc [\Delta t]=\mathrm {\frac{1}{L^{3/2}.M^{-1/2}.T^{-1}.M^{1/2}}.L^{3/2}=T}.
Δt est bien homogène à une durée.
b) On a \Delta t=\sqrt{\frac{\pi^{2}}{\mathrm G.M_{S}}.a^{3}}.
Numériquement : \Delta t=\pi\sqrt{\frac{(1,89.10^{11})^{3}}{6,67.10^{-11}\times1,99.10^{30}}}.
Soit Δt = 2,24.107 s = 259 jours.
Le texte nous dit que le lancement se fait le 26 novembre 2011 et le robot se pose sur le sol martien le 6 août 2012 :
  • mois de novembre : 5 jours ;
  • mois de décembre : 31 jours ;
  • mois de janvier : 31 jours ;
  • mois de février : 28 ou 29 jours ;
  • mois de mars : 31 jours ;
  • mois d'avril : 30 jours ;
  • mois de mai : 31 jours ;
  • mois de juin : 30 jours ;
  • mois de juillet : 31 jours ;
  • mois d'août : 6 jours.
Soit un total de 254 ou 255 jours, ce qui est cohérent avec ce qui a été trouvé précédement (écart relatif 2 %). Les erreurs sont certainement dues à l'attraction de la Terre et celle de Mars. Ainsi, la troisième loi de Kepler n'est plus applicable puisqu'elle n'est valable que pour un système en orbite autour d'un seul astre.
4. D'après les documents, Mars a un mouvement circulaire uniforme. Nous connaissons la période de révolution de Mars autour du Soleil. Il suffit de calculer l'angle correspondant à la durée précédente :
360°
1,88 × 365,25 × 24 × 3 600 s
β
2,24.107 s

On a : \beta=\frac{2,24.10^{7}\times360}{1,88\times365,25\times24\times3\,600}. Soit β = 136°.
Comme α = 180 − β, alors α = 44°.