Principe de fonctionnement d'un GPS (sujet national, juin 2013, exercice 2)

Énoncé

Temps et relativité restreinte
Le nom officiel du GPS (Global Positioning System) est originellement NAVSTAR (Navigation System by Timing and Ranging). Il fut imaginé et mis au point par le département de la Défense des États-Unis qui envoya dans l'espace la première génération de satellites à partir de 1978. Depuis lors, celui-ci a largement fait ses preuves et le système GPS actuel comporte une trentaine de satellites en orbites quasi circulaires faisant inlassablement deux révolutions par jour autour de la Terre.
Données :
  • Célérité de la lumière dans le vide : \mathrm c\,=\,3,00\,\times\,10^{8}\,\mathrm {m.s^{-1}}.
  • Altitude moyenne des satellites GPS : h\,=\,2,00\,\times\,10^{4}\,\mathrm {km}.
  • Masse de la Terre  : \mathrm {M_{T}}\,=\,5,98\,\times\,10^{24}\,\mathrm {kg}.
  • Rayon de la Terre : \mathrm {R_{T}}\,=\,6,38\,\times\,10^{3}\,\mathrm {km}.
  • Constante de gravitation universelle : \mathrm G\,=\,6,67\,\times\,10^{-11}\,\mathrm {m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}}.
  • 1 octet = 8 bit.
Allure des orbites des satellites GPS
Allure des orbites des satellites GPS
Document 1
Fonctionnement général du GPS
« Principe de la localisation
On peut déterminer la position d'un point à partir de sa distance à d'autres points. Par exemple, supposons que nous soyons perdus quelque part en France, si nous passons devant un panneau indiquant que Paris est à 150 km sans en donner la direction, nous sommes situés quelque part sur un cercle centré sur Paris et de rayon 150 km. Si, par ailleurs, un autre panneau nous indique Orléans 230 km, nous sommes sur un cercle centré sur Orléans et de rayon 230 km. Il suffit donc de tracer ces deux cercles et de voir où ils se coupent. Généralement, ils se coupent en deux points (Dieppe et Sainte-Menehould dans notre exemple) et nous avons donc besoin d'une troisième indication afin d'éliminer l'un des deux points.
Mesure de la distance satellite-récepteur
Un satellite GPS envoie très régulièrement un signal électromagnétique indiquant l'heure de l'émission du signal de manière très précise, ainsi que des informations sur la position du satellite. Le récepteur n'a plus qu'à comparer l'heure de réception à celle de l'émission pour calculer le temps de parcours du signal et en déduire la distance le séparant du satellite.
Pour bénéficier d'une précision de 10 m dans la direction de propagation du signal électromagnétique envoyé par un satellite GPS, le récepteur GPS doit mesurer la durée de trajet de ce signal avec une précision d'environ 30 ns. Cette précision extrême nécessite de prendre en compte des effets relativistes. La non-prise en compte de ces effets entraînerait une avance des horloges des satellites sur les horloges terrestres d'environ 38 μs par jour.
Caractéristiques du signal GPS
Les informations sont envoyées par le satellite sous la forme d'un signal binaire avec un débit très faible : 50 bit.s−1. Dans la pratique, le GPS garde en mémoire les paramètres du calcul de position reçus avant son dernier arrêt et reprend par défaut ces paramètres, lors de sa mise en marche. Ainsi, la mise à jour est d'autant plus rapide qu'on utilise son GPS fréquemment.
En réalité, le récepteur GPS reçoit en permanence des informations de plusieurs satellites, sur une même fréquence. Pour distinguer les satellites les uns des autres, on a attribué à chacun un code, appelé code C/A qui se présente sous la forme de séquences binaires répétées de 1 et de 0. Le message GPS est superposé à ce code et, lors de la réception du message, le récepteur pourra, grâce au code, identifier le satellite source et traduire le signal pour en connaître le message.
La superposition du code C/A et du message consiste simplement à inverser les 0 et les 1 du code lorsque le bit du message vaut 1 et à ne pas les modifier lorsque le bit du message vaut 0. Un exemple de signal reçu par le GPS est présenté ci-dessous. »
Source : d'après www.science.gouv.fr.

Message GPS et code C/A
Message GPS et code C/A
À propos de la localisation
1. 
Sortant tout juste d'une ville française, un automobiliste voit un panneau indiquant Lyon à 240 km et Nancy à 340 km. Déterminer graphiquement, à l'aide de la carte fournie ci-dessous, la ville où il se trouve. Justifier.
Carte de France
Carte de France
Appliquez le principe de la localisation exposé dans le premier paragraphe du document. Identifier sur la carte les deux cercles centrés sur Lyon et Nancy, en tenant compte de l'échelle. L'automobiliste se trouve à l'intersection de ces deux cercles. Éliminez le point qui n'est pas situé en France.
Étude du mouvement d'un satellite
Le mouvement du satellite est étudié dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Ce référentiel est associé au centre de la Terre ainsi qu'à trois étoiles lointaines, considérées comme fixes.
2. 
En supposant que son orbite est circulaire, montrer que le mouvement d'un satellite GPS de masse m est uniforme.
Appliquez la deuxième loi de Képler (loi des aires) dans le cas d'un mouvement circulaire. Exprimez la vitesse en deux points de la trajectoire et montrez que celle-ci est constante.
3. 
Montrer que l'expression de la vitesse du satellite est v\,=\sqrt{\frac{GM_{T}}{R_{T+h}}} et déterminer sa valeur numérique.
Dans la base de Frenet, exprimez vectoriellement la force d'interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite. Appliquez la seconde loi de Newton au système {satellite} dans le référentiel géocentrique supposé galiléen et déduisez-en une expression de l'accélération. Exprimez l'accélération de la station dans la base de Frenet dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme. Égalisez les deux expressions de l'accélération ainsi obtenues pour en déduire l'expression de la vitesse v. Lors de l'application numérique, les distances doivent être exprimées en mètres.
4. 
Établir l'expression de la période de révolution d'un satellite GPS. Calculer sa valeur et vérifier qu'elle est compatible avec l'information du texte d'introduction.
Exprimez la période de révolution T de la station en fonction de v, RT et h, puis calculer sa valeur. Déduisez-en le nombre de révolutions effectuées par jour autour de la Terre et comparez avec la valeur donnée dans le texte d'introduction.
Précision des mesures
5. 
Justifier par le calcul la phrase suivante : « Pour bénéficier d'une précision de 10 m dans la direction de propagation du signal électromagnétique envoyé par un satellite GPS, le récepteur GPS doit mesurer la durée de trajet de ce signal avec une précision d'environ 30 ns. »
Déterminez la durée du trajet mise par l'onde électromagnétique pour parcourir une distance de 10 m.
6. 
Quelle est la durée de parcours du signal électromagnétique ? En déduire la précision relative sur la mesure de cette durée.
Calculez la durée mise par le signal électromagnétique pour parcourir la distance satellite-surface de la Terre. La précision relative est le rapport entre la précision de la mesure (déterminée à la question précédente) et cette durée.
7. 
Si on ne tenait pas compte des effets relativistes, quel serait le décalage temporel entre les horloges terrestres et celle du satellite GPS au bout d'une journée ? En déduire la durée nécessaire pour que les horloges terrestres et celle du satellite GPS soient significativement désynchronisées, c'est-à-dire pour qu'elles soient décalées de 30 ns.
Relevez dans le document le décalage temporel entre les horloges terrestres et celle du satellite GPS au bout d'une journée en l'absence d'effets relativistes. Déduisez-en par une règle de trois le temps au bout duquel le décalage serait de 30 ns.
Étude du signal GPS
8. 
Sachant que le message GPS contenant les paramètres de calcul a une taille d'environ 4,5 ko, calculer la durée nécessaire à l'envoi de l'intégralité de ce message par le satellite lors de la mise en marche du GPS. Commenter cette durée surprenante en s'appuyant sur le document 1 « Fonctionnement général du GPS ».
9. 
Dans le document 1 est donné un exemple de message GPS et de code C/A. Compléter cette annexe par 0 ou 1 en effectuant la superposition « message + code » comme cela est indiqué dans « Fonctionnement général du GPS ».
D'après le document 1 : « Le message GPS consiste simplement à inverser les 0 et les 1 du code lorsque le bit du message vaut 1 et à ne pas les modifier lorsque le bit du message vaut 0. »

Corrigé

À propos de la localisation
1. 
L'automobiliste se trouve à :
  • 240 km de Lyon : il est donc situé sur le cercle centré sur Lyon et de rayon 240 km (pointillés verts) ;
  • 340 km de Nancy : il est donc situé sur le cercle centré sur Nancy et de rayon 340 km (pointillés rouges).
Sujet national, juin 2013 - illustration 4
L'automobiliste est donc situé à l'intersection de ces deux cercles, ce qui donne deux possibilités :
  • un point situé en France, sur la ville de Bourges ;
  • un point situé en Italie.
L'énoncé précise que l'automobiliste sort d'une ville française, il s'agit donc de la ville de Bourges.
Étude du mouvement d'un satellite
2. 
Le satellite GPS décrit une trajectoire circulaire autour de la Terre. D'après la deuxième loi de Kepler (loi des aires), le segment joignant le centre T de la Terre et le centre S du satellite balaie des aires égales pendant des durées égales Δt. La distance parcourue par le satellite est donc la même (S1S2 = S3S4) et la vitesse est constante : v=\frac{\mathrm S_{1}\mathrm S_{2}}{\Delta t}=\frac{\mathrm S_{3}\mathrm S_{4}}{\Delta t}. Le mouvement du satellite est donc circulaire uniforme.
Sujet national, juin 2013 - illustration 5
3. 
  • Système étudié : {satellite} assimilée à un point matériel S de masse m ;
  • Référentiel : géocentrique, supposé galiléen ;
  • Bilan des forces : force d'interaction gravitationnelle exercée par la Terre.
Dans le repère de Frenet (\mathrm S,\vec{n},\vec{t}), l'expression vectorielle de la force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite est : \overrightarrow{F_{\mathrm {T/S}}}=\mathrm G\frac{m\times \mathrm {M_{T}}}{(\mathrm {R_{T}}+h)^{2}}\vec{n}
Appliquons la seconde loi de Newton : \overrightarrow{F_{\mathrm {T/S}}}=m\vec{a}, soit \mathrm G\frac{m\times \mathrm {M_{T}}}{(\mathrm {R_{T}}+h)^{2}}\vec{n}=m\vec{a}
En simplifiant par m, il vient : \vec{a}=\frac{\mathrm G\times \mathrm {M_{T}}}{(\mathrm {R_{T}}+h)^{2}}\vec{n} (1)
Les composantes du vecteur accélération dans la base de Frenet sont : \overrightarrow{a}(a_{t},a_{n})=\left(\frac{dv}{dt},\frac{v^{2}}{\mathrm {R_{T}}+h}\right). Le mouvement étant uniforme, \frac{dv}{dt}=0 donc \vec{a}=\frac{v^{2}}{\mathrm {R_{T}}+h}\vec{n} (2)
En identifiant les expressions (1) et (2), on obtient : \frac{\mathrm G\times \mathrm {M_{T}}}{(\mathrm {R_{T}}+h)^{2}}\vec{n}=\frac{v^{2}}{\mathrm {R_{T}}+h}\vec{n}
Puis, en simplifiant : \frac{\mathrm G\times \mathrm {M_{T}}}{(\mathrm {R_{T}}+h)}=v^{2}
D'où : v=\sqrt{\frac{\mathrm G\times \mathrm {M_{T}}}{\mathrm {R_{T}}+h}}
Application numérique : v=\sqrt{\frac{6,67.10^{-11}\times 5,98.10^{24}}{6,38.10^{6}+2,00.10^{7}}}=3,89.10^{3}\,\mathrm {m.s^{-1}}
4. Soit T la période de révolution du satellite GPS autour de la Terre. La vitesse est :
v=\frac{2\Pi(\mathrm {R_{T}}+h)}{T}
D'où : T=\frac{2\Pi(\mathrm {R_{T}}+h)}{v}=\frac{2\Pi\times(6,38.10^{6}+2,00.10^{7})}{3,89.10^{3}}=4,26.10^{4}\,\mathrm s=11,8\,\mathrm h
Le nombre N de révolutions autour de la Terre en Δt = 24 h est : N=\frac{\Delta t}{T}=\frac{24}{11,8}=2,0
Le satellite GPS effectue donc deux révolutions par jour autour de la Terre, ce qui correspond bien à l'information donnée dans le texte.
Précision des mesures
5. La vitesse de propagation c du signal électromagnétique est égale à la distance parcourue d sur la durée Δt : \mathrm c=\frac{d}{\Delta t}
La précision de la mesure correspond à la durée du trajet pour d = 10 m :
\Delta t=\frac{d}{\mathrm c}=\frac{10}{3,00.10^{8}}=3,0.10^{-8}\,\mathrm s=30\,\mathrm {ns}
6. La durée du parcours du signal électromagnétique entre le satellite et la surface de la Terre est : \tau=\frac{h}{\mathrm c}=\frac{2,00.10^{7}}{3,00.10^{8}}=6,67.10^{-2}\,\mathrm s.
La précision relative sur la mesure de cette durée est : \frac{\Delta t}{\tau}=\frac{3,0.10^{-8}}{6,67.10^{-2}}=4,5.10^{-7}=4,5.10^{-5}\,\%.
7. D'après le texte, la non-prise en compte des effets relativistes entraînerait une avance des horloges des satellites sur les horloges terrestres de 38 μs par jour (Δt = 24 h = 86 400 s). La durée nécessaire pour désynchroniser les horloges (décalage de 30 ns) serait donc :
\Delta t'=\frac{30.10^{-9}\times 86400}{38.10^{-6}}=68\,\mathrm s
Les horloges terrestres et celle du satellite seraient donc significativement désynchronisées au bout d'une minute et 8 secondes, d'où la nécessité de prendre en compte ces effets.
Étude du signal GPS
8. D'après le document, les informations sont envoyées par le satellites avec un débit binaire D=50\,\mathrm {bit.s^{-1}}. Or, D=\frac{n}{\Delta t}, avec n = 4,5 ko la taille du message et Δt la durée de l'envoi, donc : \Delta t=\frac{n}{D}=\frac{4,5\times 10^{3}\times 8}{50}=7,2.10^{2}\,\mathrm s
La durée de l'envoi du message contenant les paramètres de calcul lors de la mise en marche du GPS est de 720 secondes, soit 12 minutes, ce qui semble très élevé. D'après le document, le GPS garde en mémoire les paramètres de calcul reçus avant le dernier arrêt et reprend ses paramètres par défaut lors de la remise en marche, ce qui diminue considérablement le temps de mise à jour.
9. D'après le document, la superposition du code C/A et du message se fait de la façon suivante :
  • lorsque le bit du message vaut 1 : inversion des 0 et des 1 du code ;
  • lorsque le bit du message vaut 0 : code inchangé.
Sujet national, juin 2013 - illustration 6