Service et réception au volley-ball (sujet national, juin 2018, exercice 2)

Énoncé

Service et réception au volley-ball
Au volley-ball, le service smashé est le type de service pratiqué le plus fréquemment par les professionnels : le serveur doit se placer un peu après la limite du terrain, lancer très haut son ballon, effectuer une petite course d'élan, puis sauter pour frapper la balle.
D'après : https://fr.wikipedia.org/wiki/Volley-ball.
Après la course d'élan, le serveur saute de façon à frapper le ballon en un point B0 situé à la hauteur h au-dessus de la ligne de fond de terrain. La hauteur h désigne alors l'altitude initiale du centre du ballon. Le vecteur vitesse initiale \vec{v}_{0} du ballon est horizontal et perpendiculaire à la ligne de fond du terrain (voir figure 1.).
Le mouvement du ballon est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni du repère (Ox, Oy) et l'instant de la frappe est choisi comme origine des temps : t = 0 s. Le mouvement a lieu dans le plan (Oxy).
Source : FIVB 2012.
Sujet national, juin 2018, exercice 2 - illustration 1
Figure 1
Dimensions du terrain de volley-ball et allure de la trajectoire du ballon
Dimensions du terrain de volley-ball et allure de la trajectoire du ballon
Le but de cet exercice est de déterminer la valeur de la vitesse initiale du ballon, de vérifier la validité du service et d'étudier la réception du service par un joueur de l'équipe adverse. Pour cela, on étudie le mouvement du centre du ballon sans tenir compte de l'action de l'air, de la rotation du ballon sur lui-même et de ses déformations.
Données :
• le ballon de volley-ball a une masse m = 260 g et un rayon r = 10 cm ;
• intensité du champ de pesanteur : g = 9,81 m.s−2 ;
• la valeur de la célérité c de la lumière dans le vide ou dans l'air est supposée connue du candidat ;
• domaines des ondes électromagnétiques en fonction de la longueur d'onde \lambda :
Sujet national, juin 2018, exercice 2 - illustration 3
Mesure de la vitesse initiale du ballon
Afin d'évaluer les performances du serveur, on mesure la valeur de la vitesse initiale v0 du ballon grâce à un radar portatif (voir figure 2), que l'on pointe en direction de la position de frappe B0.
Le manuel du radar portatif indique que celui-ci envoie des ondes électromagnétiques haute fréquence (3,47 × 1010 Hz) et mesure la différence de fréquence entre l'onde émise et l'onde réfléchie sur un objet en mouvement.
Figure 2
Radar portatif utilisé lors de la mesure de la vitesse (indiquée en km.h−1)
Radar portatif utilisé lors de la mesure de la vitesse (indiquée en km.h-1)
1. Identifier le domaine des ondes électromagnétiques émises par ce radar portatif. Justifier par un calcul.
Comme l'énoncé donne la fréquence des ondes électromagnétiques du radar, il faut calculer leur longueur d'onde. La valeur de la célérité de la lumière dans le vide est supposée connue.
2. Nommer le phénomène à l'origine de la différence de fréquence entre les ondes émise et reçue par le radar portatif.
Lorsqu'une source et un récepteur sont en mouvement l'un par rapport à l'autre, on observe un décalage de fréquence.
3. Le radar portatif est positionné face au serveur et vise le ballon. La fréquence de l'onde reçue est-elle inférieure ou supérieure à celle de l'onde émise ? Justifier.
Analysez le mouvement du ballon par rapport au radar. Le son d'une ambulance est perçu par un observateur immobile plus aigu lorsqu'elle s'approche et plus grave lorsqu'elle s'éloigne.
4. Dans les mêmes conditions de mesure que pour la question 3, le décalage Δf entre la fréquence f émise de l'onde émise et la fréquence f reçue de l'onde reçue vérifie la relation :
\left | \Delta f \right | = \left | f_{\textrm{recue}}-f_{\textrm{émise}} \right | = \frac{2v _{0}.f_{émise}}{c}.
Le décalage |Δf| mesuré par le radar portatif est de 4,86 kHz.
En déduire la valeur de la vitesse du ballon. Vérifier l'accord avec l'indication de l'écran du radar portatif de la figure 2.
Transformer la relation de l'énoncé pour calculer la vitesse du ballon. Il faut toutefois être vigilant sur les unités données. La vitesse du radar est donnée en km/h.
Validité du service
Le service est effectué depuis le point B0 à la vitesse v0 = 21,0 m.s−1. Le service sera considéré comme valide à condition que le ballon franchisse le filet sans le toucher et qu'il retombe dans le terrain adverse.
1. Montrer que, si on néglige l'action de l'air, les coordonnées du vecteur accélération du centre du ballon après la frappe sont :
ax(t) = 0 et ay(t)= −g.
Faites le bilan des forces appliquées au ballon. Utilisez ensuite la deuxième loi de Newton (ou relation fondamentale de la dynamique) en sachant que la masse du ballon est constante.
2. Établir que les équations horaires du mouvement du centre du ballon s'écrivent :
x(t) = v0t et y(t)= -\frac{gt^{2}}{2}+h.
En déduire que l'équation de la trajectoire reliant x et y s'écrit :
y(x)= -\frac{g}{2v_{0}^{2}}x^{2}+h.
Déterminez les primitives successives de l'accélération et de la vitesse pour obtenir les équations horaires proposées dans l'énoncé. Puis en éliminant le temps entre les deux équations horaires, on aboutit à l'équation de la trajectoire.
3. En admettant que le ballon franchisse le filet, vérifier qu'il touche le sol avant la ligne de fond.
Tenez compte du rayon du ballon lorsqu'il touche le sol. Avec l'équation horaire de la question précédente, on pourra en déduire l'abscisse du point d'impact du ballon sur le sol. Attention également au nombre de chiffres significatifs pour la présentation du résultat.
4. Afin de déterminer la vitesse du ballon au moment où il touche le sol, on effectue une étude énergétique. L'origine de l'énergie potentielle de pesanteur est choisie de la manière suivante : Epp = 0 J pour y = 0 m.
a) Rappeler les expressions littérales des énergies cinétique Ec, potentielle de pesanteur Epp et mécanique Em du ballon en un point quelconque de la trajectoire.
On demande les relations du cours donnant l'énergie cinétique, l'énergie potentielle de pesanteur et l'énergie mécanique. Pour l'énergie potentielle de pesanteur, il faut veiller à utiliser les bonnes variables données dans l'énoncé.
b) Le graphe de la figure 3 représente l'évolution en fonction du temps des trois énergies précédentes. Associer chaque courbe 1, 2, 3 à l'une des trois énergies Em, Epp, Ec. Justifier.
Mettez en relation la vitesse et l'altitude du ballon avec les courbes. De plus, on néglige les forces de frottement.
Figure 3
Allure de l'évolution des énergies du ballon au cours du temps
Allure de l'évolution des énergies du ballon au cours du temps
c) À l'aide de l'étude énergétique précédente, déterminer la valeur de la vitesse du centre du ballon vsol lorsque le ballon touche le sol.
Comme l'énergie mécanique se conserve, on peut la calculer en deux points particuliers de la trajectoire du ballon. Ne pas oublier de tenir compte du rayon du ballon.
5.  En réalité, la vitesse vsol avec laquelle le ballon atteint le sol est plus faible que celle déterminée à la question 4. c). Proposer une explication.
Les suppositions faites pour l'étude du mouvement du ballon ne sont peut-être pas réalistes.
Réception du ballon par un joueur de l'équipe adverse
Au moment où le serveur frappe le ballon (t = 0 s), un joueur de l'équipe adverse est placé au niveau de la ligne de fond de son terrain. Il débute sa course vers l'avant pour réceptionner le ballon en réalisant une « manchette » comme le montre la figure 4.
Le contact entre le ballon et le joueur se fait au point R situé à une hauteur de 80 cm au-dessus du sol.
Figure 4
Réception du ballon
Réception du ballon
On admet que les équations horaires du mouvement du ballon établies à la question 2 de la partie « validité du service » restent valables. Évaluer la vitesse moyenne minimale du déplacement de ce joueur pour qu'il réalise la réception dans la position photographiée ci-dessus. Ce résultat semble-t-il réaliste ?
La vitesse moyenne du joueur sera calculée en faisant le rapport de la distance qu'il a à parcourir depuis la ligne de fond jusqu'au point R, sur la durée du « vol » du ballon depuis le départ jusqu'au point R.
Il faut procéder par étape :
  • déterminer l'ordonnée du point R en tenant compte du rayon du ballon ;
  • déterminer la durée du mouvement du ballon pour qu'il arrive au point R avec les équations horaires ;
  • déterminer l'abscisse du point R avec les équations horaires.

Corrigé

Mesure de la vitesse initiale du ballon
1. Les domaines des ondes électromagnétiques donnés dans l'énoncé sont en fonction de la longueur d'onde. Or, les ondes électromagnétiques du radar ont une fréquence de 3,47.1010 Hz. Or, \lambda = \frac{c}{f}= \frac{3,00.10^{8}}{3,47.10^{10}}= 8,65.10^{-3}\:m.
Cette longueur d'onde appartient au domaine des micro-ondes.
2. Le phénomène à l'origine de la différence de fréquence entre les ondes émises et les ondes reçues par le radar portatif est l'effet Doppler.
3. Le radar portatif est positionné face au serveur de telle sorte que le ballon s'approche du radar. La fréquence reçue est plus grande que la fréquence émise :
freçue >fémise.
4.  Calcul de la vitesse du ballon.
\left | \mathit{\Delta}f \right | = \frac{2v _{0}.f_{émise}}{c}, soit v _{0}= \frac{\left | \mathit{\Delta }f.c \right | }{2f_{émise}}.
Numériquement, v _{0}= \frac{4,86.10^{3}\times 3,00.10^{8} }{2\times 3,47.10^{10}}= 21,0\: \textrm{m.s}^{-1}.
Soit 21,0 × 3,6 = 75,6 km.h−1.
Le radar portatif indique 76 km.h−1. Les valeurs sont en accord.
Validité du service
1. Le ballon de masse m constante n'est soumis qu'à son poids \vec{P}, les autres forces étant négligées. Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, on applique la relation fondamentale de la dynamique : \sum \overrightarrow{F_{ext}}= m.\overrightarrow{a}.
Donc \vec{P}= m.\vec{a}, soit m.\vec{g}= m.\vec{a}, et d'où \vec{a}= \vec{g}.
Dans le repère (Oxy), \vec{a}\left\{\begin{matrix}a_{x}= 0\\a_{y}= -g\end{matrix}\right..
2. Comme \vec{a}= \frac{d\vec{v}}{dt}, \vec{v} est la primitive de \vec{a}, et \vec{v}= \left\{\begin{matrix}cste_{1}\\-gt+cste_{2}\end{matrix}\right..
Les constantes cste1 et cste2 sont déterminées par les conditions initiales.
\vec{v}(t= 0)\left\{\begin{matrix}cste_{1}\\-g.0+cste_{2}\end{matrix}\right. et \overrightarrow{v_{0}}= \left\{\begin{matrix}v_{0x}= v_{0}\\v_{0y}= \textit{0}\end{matrix}\right..
D'où \vec{v}\left\{\begin{matrix}v_{0}\\-g\: .\: t\end{matrix}\right..
Comme \vec{v}= \frac{d\overrightarrow{OB}}{dt}, \overrightarrow{OB} est la primitive de \vec{v}, et \overrightarrow{OB}\left\{\begin{matrix}v_{0}\: .\: t+cste_{3}\\-\frac{1}{2}\; g\; .\: t^{2}+cste_{4}\end{matrix}\right..
Les constantes cste3 et cste4 sont déterminées par les conditions initiales.
\overrightarrow{OB}(t= 0)\left\{\begin{matrix}x_{0}= 0\\y_{0}= h\end{matrix}\right. et \overrightarrow{OB}(t= 0)\left\{\begin{matrix}v_{0}.0+cste_{3}\\-\frac{1}{2}g.0^{2}+cste_{4}\end{matrix}\right..
D'où \overrightarrow{OB}\left\{\begin{matrix}x= v_{0}.t\\y= -\frac{1}{2}\; g\; .\; t^{2}+h\end{matrix}\right..
Ce sont les équations horaires du mouvement.
Isolons la variable t de la première équation : t= \frac{x}{v_{0}}. En injectant cette relation dans l'autre équation, on en déduit l'équation de la trajectoire :
y= -\frac{1}{2}\ \frac{g}{v_{0}^{2}}\ x^{2}\ +\ h.
3. Le ballon touche le sol pour y = r (rayon du ballon).
Dans l'équation de la trajectoire précédente : r= -\frac{1}{2}\ \frac{g}{v_{0}^{2}}\ x^{2}\ +\ h, soit \frac{1}{2}\ \frac{g}{v_{0}^{2}}\ x^{2} = (h-r).
D'où x^{2}= \frac{2(h-r)v_{0}^{2}}{g}, et enfin x=\sqrt{ \frac{2(h-r)v_{0}^{2}}{g}}.
Numériquement, x=\sqrt{\frac{2(3,50-0,10)\times 21,0}{9,81}}= 17 m.
Comme le terrain a une longueur L = 18,0 m, le ballon touchera le sol avant la ligne de fond.
4. 
a) L'énergie cinétique : E_{c}= \frac{1}{2}\; mv.
L'énergie potentielle de pesanteur : Epp = mgy, où y est l'altitude.
L'énergie mécanique : EmEcEpp.
b) La courbe 1 diminue jusqu'à s'annuler. Elle est à mettre en rapport avec l'altitude du ballon : elle correspond à l'énergie potentielle de pesanteur.
La courbe 2 augmente comme la vitesse du ballon : elle correspond à l'énergie cinétique.
La courbe 3 est une droite horizontale. Elle correspond à l'énergie mécanique du ballon qui reste constante au cours du temps puisqu'on néglige les forces de frottement.
c) L'énergie mécanique au départ : E_{m}(0)= \frac{1}{2}mv_{0}^{2}+mgh.
Lorsque le ballon touche le sol : E_{m}(sol)= \frac{1}{2}mv^{2}+mgr.
L'énergie mécanique se conserve, donc \frac{1}{2}mv_{0}^{2}+mgh= \frac{1}{2}mv^{2}+mgr.
Soit \frac{1}{2}+gh= \frac{1}{2}v^{2}+gr, d'où \frac{1}{2}v^{2}= \frac{1}{2}v_{0}^{2}+gh-gr, donc v^{2}= v_{0}^{2}+2g(h-r).
On obtient ainsi : v= \sqrt{v_{0}^{2}+2h(h-r)}.
Numériquement, v= \sqrt{21,0^{2}+2\times 9,81\times (3,50-0,10)}= 23\: m.s−1.
5. La vitesse réelle du ballon au niveau du sol est plus faible, car en réalité les frottements du ballon ne sont pas négligeables.
Réception du ballon par un joueur de l'équipe adverse
• Déterminons l'ordonnée du point R.
Le contact entre le ballon et le joueur se fait au point R, pour une hauteur de 80 cm = 0,80 m, soit à une altitude pour le centre de gravité du ballon de :
yR = 0,80 + r = 0,90 m.
• Déterminons la durée du mouvement du ballon, pour qu'il arrive au point R.
D'après les équations horaires, au point R, on a y_{R} = -\frac{1}{2}g.t_{R}^{2} + h, d'où h - y_{R} = \frac{1}{2}g.t_{R}^{2}.
Soit t_{R}^{2} = \frac{2(h-y_{R})}{g}, d'où t_{R} = \sqrt{\frac{2(h-y_{R})}{g}}.
• Déterminons l'abscisse du point R.
D'après les équations horaires, au point R, on a x_{R} = v_{0} \times t_{R}.
• Déterminons la vitesse du joueur de l'équipe adverse.
Le joueur de l'équipe adverse est placé au niveau de la ligne de fond de son terrain. Il doit parcourir une distance L - x_{R} en une durée tR. Sa vitesse moyenne sera alors :
v = \frac{L-x_{R}}{t_{R}} = \frac{L-v_{0}t_{R}}{t_{R}} = \frac{L}{t_{R}} - v_{0}.
Finalement, avec la relation donnant tR, on trouve :
v = L \times \sqrt{\frac{g}{2(h-y_{R})}} - v_{0}.
Numériquement, v = 18,0 \times \sqrt{\frac{9,91}{2(3,50-0,90)}}-21,0 = 3,7 m.s−1.
Soit v = 3,7 \times 3,6 = 13 km.h−1.
Cette valeur semble réaliste pour un sportif qui court.