Le Cor des Alpes (sujet national, juin 2014, spécialité)

Énoncé

Le cor des Alpes
Chaque année, au mois de juillet, se déroule le festival international du cor des Alpes à Haute-Nendaz, en Suisse. Cet instrument folklorique était jadis utilisé par les bergers pour communiquer entre eux.
Sujet national, juin 2014, exercice de spécialité - illustration 1
Un berger, situé au sommet d'une colline (point A sur la carte), joue la note la plus grave de son cor des Alpes. Son instrument a une longueur de 3,4 m.
Pourra-t-on l'entendre à Haute-Nendaz si le niveau d'intensité sonore est de 100 dB à un mètre de l'instrument ?
Hypothèses de travail :
  • l'amortissement de l'onde n'est pas pris en compte : la dissipation d'énergie au cours de la propagation est négligeable ;
  • le rayonnement de la source est supposé isotrope.
L'analyse des données ainsi que la démarche suivie seront évaluées et nécessitent d'être correctement présentées. Les calculs numériques seront menés à leur terme avec rigueur. Il est aussi nécessaire d'apporter un regard critique sur le résultat et de discuter de la validité des hypothèses formulées.
Déterminez d'abord le niveau sonore à Haute-Nendaz puis concluez en tenant compte de la fréquence du son. Pour cela, il faudra déterminer la distance entre le berger et Haute-Nendaz et l'intensité sonore à Haute-Nendaz.
Donnée :
intensité acoustique de référence : I0 = 1,0×10−12 W.m−2.
Document 1
Valeurs de la célérité du son dans l'air en fonction de la température
Valeurs de la célérité du son dans l'air en fonction de la température
Température en °C
10
20
30
40
Célérité en m.s−1
337
343
349
355

Document 2
Un instrument à vent : le cor des Alpes
« Lorsque l'on souffle dans un cor des Alpes pour la première fois, il semble impossible d'en sortir un seul son harmonieux. Mais avec un peu de pratique, on peut apprendre à produire jusqu'à vingt-deux notes, ceci sans utiliser ni valve ni bouton. La gamme de notes réalisable sur cet instrument dépend d'abord de sa géométrie, puis du talent de celui qui en joue. Les premiers cors des Alpes datent du XIVe siècle, ils étaient traditionnellement utilisés par les gardiens de troupeaux pour communiquer entre eux sur des distances d'une dizaine de kilomètres. Cet instrument de la famille des cuivres est fait d'une seule pièce de bois, un tube recourbé à son extrémité et mesurant en général de deux à quatre mètres de long. Pour en jouer, le musicien souffle dans une embouchure. La note la plus grave est atteinte lorsque la longueur d'onde de l'onde sonore associée à la note est égale à deux fois la longueur du cor. »

Sujet national, juin 2014, exercice de spécialité - illustration 2
Document 3
L'intensité sonore d'une source isotrope
« Pour une source isotrope (c'est-à-dire émettant la même énergie dans toutes les directions) de puissance P, l'intensité sonore I au point M dépend de la distance d à la source et s'exprime de la façon suivante :
I\,=\,\frac{P}{4\pi{d}^{2}}
avec I en W.m-2 ; P en W ; d en m. »

Sujet national, juin 2014, exercice de spécialité - illustration 3
Document 4
Seuil d'audibilité humaine en fonction de la fréquenceLe graphique indique les valeurs minimales de niveau d'intensité sonore audible en fonction de la fréquence.
Seuil d'audibilité humaine en fonction de la fréquence

Corrigé

Déterminons la distance entre le berger et Haute-Nendaz. La carte indique une échelle de 17 mm \rightarrow 2 km. Or, entre le point A et Haute-Nendaz, on mesure une distance de 7,3 cm. Ce qui correspond à \frac{7,3\times2}{1,7}=8,6 km.
Déterminons la fréquence du son joué. Le document 2 indique : « La note la plus grave est atteinte lorsque la longueur d'onde de l'onde sonore associée à la note est égale à deux fois la longueur du cor. »
\lambda=2L et v=\lambda\times f, d'où f=\frac{v}{\lambda}=\frac{v}{2L}.
Pour une température de l'air de 20 °C, f=\frac{343}{2\times3,4}. Donc f = 50 Hz.
Déterminons la pression acoustique. On admet que la dissipation d'énergie au cours de la propagation est négligeable donc : PA = PHaute-Nendaz = P.
Comme le rayonnement de la source est supposé isotrope, l'intensité sonore en A est : I_{1}=\frac{P}{4\pi.d_{1}^{2}}. Or d_{1}^{2}=1, d'où I_{1}=\frac{P}{4\pi} et donc P=I_{1}\times4\pi.
Le niveau sonore à 1 m de A est égale à : L_{1}=10\,\mathrm {log}\left(\frac{I_{1}}{I_{0}}\right).
Soit I_{1}=I_{0}\times10^{\frac{L_{1}}{10}}.
Ce qui donne dans la relation de P : P=I_{0}\times10^{\frac{L_{1}}{10}}\times4\pi.
Déterminons le niveau sonore à Haute-Nendaz.
Comme I_{2}=\frac{P}{4\pi.d_{2}^{2}}, donc I_{2}=\frac{I_{0}\times10^{\frac{L_{1}}{10}}\times4\pi}{4\pi.d_{2}^{2}}, soit I_{2}=\frac{I_{0}\times10^{\frac{L_{1}}{10}}}{d_{2}^{2}}.
Comme L_{2}=10\,\mathrm {log}\left(\frac{I_{2}}{I_{0}}\right), on aura L_{2}=10\,\mathrm {log}\left(\frac{\frac{I_{0}\times10^{\frac{L_{1}}{10}}}{d_{2}^{2}}}{I_{0}}\right), soit L_{2}=10\,\mathrm {log}\left(\frac{10^{\frac{L_{1}}{10}}}{d_{2}^{2}}\right).
Numériquement : L_{2}=10\,\mathrm {log}\left(\frac{10^{\frac{100}{10}}}{(8,6.10^{3})^{2}}\right), soit L2 = 21 dB.
D'après le document 4, le son de fréquence 50 Hz est perçu à Haute-Nendaz si le niveau sonore est au moins égale à 44 dB. Or, le niveau L2 est inférieur au niveau audible. Le son ne sera pas entendu à Haute-Nendaz.
Il convient d'interpréter avec prudence ces résultats :
  • la distance proposée dans le document 2 est peut-être surestimée ou les hypothèses de calcul sont à revoir ;
  • le son du cor est complexe. Il contient donc des harmoniques de fréquence plus élevées. Or, sur le document 4, pour une fréquence plus grande, le niveau sonore audible est plus faible. Ainsi, le niveau sonore L2 est audible si sa fréquence est de 150 Hz, ce qui est possible avec les harmoniques de rang supérieur ;
  • les bergers pourraient jouer des notes plus aiguës ;
  • pour une source ponctuelle, la puissance sonore n'est pas uniformément distribué autour de la source sonore : l'hypothèse faite sur l'isotropie est peut-être erronée.