Éliminer le tartre (sujet national, juin 2017, exercice 3)

Énoncé

Éliminer le tartre
Dans nos maisons, les dépôts de tartre sont nombreux. Ils se forment sur les robinets, dans les baignoires, les lavabos, les éviers, les lave-linge… Ces dépôts de tartre sont constitués de carbonate de calcium, de formule CaCO3(s). Ils peuvent être dissous en utilisant des solutions acides telles que les solutions de détartrants commerciaux.
Données :
• masse volumique de la solution commerciale de détartrant : ρd = 1,04 × 103 g.L−1 ;
• masse volumique du carbonate de calcium : ρ = 2,65 × 106 g.m−3 ;
• masses molaires : M(HCl) = 36,5 g.mol−1 ; M(CaCO3) = 100,1 g.mol−1 ;
• aire de la surface extérieure totale d'un cylindre fermé de rayon R et de hauteur h : 2πR2 + 2πRh.
Détermination de la concentration en acide chlorhydrique d'un détartrant commercial
L'étiquette d'un détartrant commercial indique : « acide chlorhydrique à 9 % » ce qui correspond à 9,0 g de HCl (g) dissous dans de l'eau pour obtenir 100 g de solution détartrante. HCl (g) réagit totalement avec l'eau pour former une solution d'acide chlorhydrique (H3O+(aq) + Cl− (aq)).
1. Montrer que la concentration molaire en acide chlorhydrique de la solution commerciale est de l'ordre de 2,6 mol.L−1.
L'étiquette donne 9,0 g d'acide chlorhydrique pour 100 g de solution détartrante.
La quantité d'acide chlorhydrique se déduit des 9,0 g et de la masse molaire de l'acide chlorhydrique.
Le volume correspondant à 100 g de solution détartrante se détermine avec la valeur de la masse volumique de la solution commerciale détartrante.
On souhaite vérifier ce résultat. Pour cela, on réalise le titrage de 10,0 mL de détartrant par une solution d'hydroxyde de sodium (Na+(aq) + HO (aq)) de concentration molaire cb égale à 1,0 × 10−1 mol.L−1.
L'équation support du titrage est : H3O+(aq) + HO(aq) → 2 H2O(l).
2. Identifier les couples mis en jeu dans cette réaction acido-basique.
La réaction présentée est une réaction acido-basique. Un acide réagit avec une base pour former sa base conjuguée et l'acide conjugué du deuxième réactif.
Un couple acido-basique se note toujours en commençant par l'acide.
3. Montrer que, dans ces conditions, le volume de solution d'hydroxyde de sodium qu'il faudrait verser pour atteindre l'équivalence est supérieur au volume de la burette graduée de 25,0 mL.
La relation à l'équivalence donne la quantité d'acide contenu dans le bécher par rapport à la quantité d'hydroxyde de sodium versée jusqu'à l'équivalence.
Il suffit ensuite de calculer le volume d'hydroxyde de sodium versé à l'équivalence et de le comparer au volume d'une burette.
Lors d'une activité expérimentale réalisée en classe, les élèves préparent une solution S en diluant 20 fois le détartrant commercial. Ils réalisent le titrage conductimétrique d'un volume VS = 10,0 mL de la solution S par une solution d'hydroxyde de sodium de concentration cb = 1,0 × 10−1 mol.L−1, après avoir ajouté de l'eau distillée à la solution S.
La courbe de suivi conductimétrique du titrage réalisé par un groupe d'élèves est donnée ci-dessous.
Figure 1
Variation de la conductivité σ en fonction du volume d'hydroxyde de sodium versé
Variation de la conductivité en fonction du volume d'hydroxyde de sodium versé
4. Comment les élèves ont-ils résolu le problème soulevé à la question 3. ?
Il faut diminuer la concentration de l'acide contenu dans le bécher afin que le volume à verser pour atteindre l'équivalence diminue également.
L'énoncé donne le protocole expérimental.
5. Déterminer la concentration molaire en ions H3O+(aq) dans la solution diluée S. Ce résultat est-il compatible avec l'indication de l'étiquette du détartrant ?
La courbe de dosage permet de déterminer le volume d'hydroxyde de sodium versé à l'équivalence.
Ainsi la concentration d'acide sera calculée à partir de la relation sur les quantités de matière écrite à l'équivalence.
La solution commerciale a néanmoins été diluée 20 fois.
Pour vérifier la compatibilité du résultat avec l'indication de l'étiquette du détartrant, un calcul d'écart-type peut être un moyen simple pour conclure.
Utilisation domestique du détartrant commercial
L'acide chlorhydrique agit sur le tartre selon la réaction d'équation :
2 H3O+(aq) + CaCO3(s) → Ca2+(aq) + CO2(g) + 3 H2O(l).
On souhaite détartrer la surface extérieure du tambour cylindrique fermé d'un lave-linge recouvert d'une épaisseur de calcaire d'environ 10 μm. Le schéma légendé du tambour est fourni figure 2.
Étant donné la faible épaisseur de la couche de tartre, son volume est approximativement égal au produit de la surface extérieure du tambour par l'épaisseur de la couche de tartre.
Figure 2
Schéma du tambour du lave-linge
Schéma du tambour du lave-linge
1. Estimer le volume total de tartre déposé sur la surface extérieure du tambour du lave-linge.
Le calcul du volume de tartre se compose d'un calcul simple de surface d'un cylindre multiplié par l'épaisseur de tartre.
Un flacon contient 750 mL de détartrant commercial de concentration molaire en ions H3O+(aq) égale à 2,4 mol.L−1.
2. Ce flacon est-il suffisant pour détartrer totalement le tambour du lave-linge ?
Il faut comparer la quantité d'acide chlorhydrique contenu dans le flacon avec la quantité d'acide chlorhydrique nécessaire pour détartrer totalement le tambour.
Le volume de carbonate de calcium de la question précédente combiné avec la masse molaire permet de déterminer la masse de tartre déposé sur le tambour et donc la quantité de matière correspondante.
L'équation de la réaction donnera la quantité d'acide nécessaire. On pourra s'aider d'un tableau d'avancement ou d'une équation stœchiométrique.
Puis grâce au calcul de la quantité d'acide chlorhydrique du flacon on pourra conclure.
Le candidat est invité à prendre des initiatives et à présenter la démarche suivie, même si elle n'a pas abouti. La démarche est évaluée et nécessite d'être correctement présentée.

Corrigé

Détermination de la concentration en acide chlorhydrique d'un détartrant
1. Calcul de la concentration d'un détartrant commercial à 9 % en acide chlorhydrique :
C = \frac{n}{V} = \frac{\frac{m\left ( HCl\right )}{M\left ( HCl\right )}}{V} = \frac{m\left ( HCl \right )}{M\left ( HCl\right )\cdot V_{d}}, où Vd est le volume de la solution commerciale de détartrant.
Or, V_{d} = \frac{m_{d}}{V_{d}}, soit V_{d} = \frac{m_{d}}{\rho _{d}}, d'où C = \frac{m\left ( HCl \right )\cdot \rho _{d}}{M\left ( HCl \right )\cdot m_{d}}.
Soit numériquement : C = \frac{9,0\times 1,04\cdot 10^{3}}{36,5\times 100}, d'où C = 2,6 mol.L−1, avec deux chiffres significatifs.
2. Les couples mis en jeu sont H3O+/H2O et H2O/OH.
3. À l'équivalence, on peut écrire la relation suivante :
n(H3 O+)= n(OH), soit C(H3O+).VaCb.Veq, d'où V_{\mathrm{eq}} = \frac{C\left ( \mathrm{H_{3}O^{+}} \right )\cdot V_{a}}{C_{b}}.
Numériquement, V_{\mathrm{eq}} = \frac{2,6\times 10,0}{1,0\cdot 10^{-1}}, soit Veq = 2,6.102 mL, avec deux chiffres significatifs.
Le résultat est bien plus grand que la contenance d'une burette, qui est de 25,0 mL.
4. Afin de ne pas devoir verser plus de 10 burettes de réactif, les élèves choisissent de diluer 20 fois le détartrant commercial. Ainsi, le volume versé pour atteindre l'équivalence sera également divisé par 20. Il se situera donc autour de \frac{2,6\cdot 10^{2}}{20} = 13, volume plus plausible pour une burette de 25,0 mL.
5. 
Sujet national, juin 2017, exercice 3 - illustration 3
La courbe de variation de la conductivité  σ en fonction du volume d'hydroxyde de sodium versé permet de trouver le volume à l'équivalence qui se trouve au changement de pente des deux droites : Veq = 12,0 mL.
Avec la relation précédente, C(H3O+).VaCb.Veq, soit C\left ( \mathrm{H_{3}O^{+}} \right ) = \frac{C_{b}\cdot V_{\mathrm{eq}}}{V_{a}}.
Numériquement : C\left ( \mathrm{H_{3}O^{+}} \right ) = \frac{1,0\cdot 10^{-1}\times 12,0}{10,0}, soit C(H3O+) = 1,2.10−1 mol.L−1.
Or, la solution commerciale a été diluée 20 fois, ce qui donne une concentration pour la solution commerciale :
C(H3O+)commercial = 1,2.10−1 × 20, d'où C(H3O+)commercial = 2,4 mol.L−1.
Calcul de l'écart-type : \frac{2,6\times 2,4}{2,6} \times 100 = 6,8 % (résultat calculé avec le résultat non arrondi de la question 1).
Comme l'écart-type est relativement faible, le résultat est compatible avec l'indication de l'étiquette du détartrant commercial.
Utilisation domestique du détartrant commercial
1. Calcul de la surface extérieure du tambour du lave-linge :
S = πR2 × 2 + 2πR × h.
Calcul du volume de calcaire :
VS × e = (πR2 × 2 + 2πR × h) × e.
Numériquement : V = (π × 0,402 × 2 + 2π × 0,40  × 0,40) × 10.10−6), soit V = 2,0.10−5 m3.
2. D'après l'équation proposée : 2 H3O+ + CaCO3 → Ca2+ + CO2 + 3 H2O, on peut écrire l'équation stœchiométrique suivante :
\frac{n\left ( \mathrm{H_{3}O^{+}} \right )}{2} = n\left ( \mathrm{CaCO3} \right ), soit \frac{n\left ( H_{3}O^{+} \right )}{2} = \frac{m(\mathrm{CaCO}_{3})}{M\left ( \mathrm{CaCO}_{3} \right )}, d'où n(\mathrm{H_{3}O^{+}}) = \frac{m\mathrm{(CaCO_{3})}}{M\mathrm{(CaCO_{3})}}.
Or, m(CaCO3) = p(CaCO3).V(CaCO3), d'où n\left ( H^{3}O^{+} \right ) = 2\times \frac{\rho \left ( \textrm{CaCO}_{3} \right ).V\left ( \textrm{CaCO}_{3} \right )}{M \left ( \textrm{CaCO}_{3} \right )}.
Numériquement, la quantité d'acide chlorhydrique nécessaire à détartrer le tambour est :
n\mathrm{(H_{3}O^{+})} = 2\times \frac{2,65.10^{6}\times 2,0.10^{-5}}{100,1}, d'où n(H3O+) = 1,1 mol.
Or, le flacon contient n(H3O+) = C × V (flacon), soit n(H3O+) = 2,4 × 0,750, d'où n(H3O+) = 1,8 mol.
Comme la quantité nécessaire est inférieure à la quantité d'acide contenu dans le flacon, le flacon contient suffisamment d'acide chlorhydrique pour détartrer totalement le tambour du lave-linge.