Sujet national, juin 2019, exercice de spécialité


Énoncé

On note Z l'ensemble des entiers relatifs.
Dans cet exercice, on étudie l'ensemble S des matrices A qui s'écrivent sous la forme A = \begin{pmatrix}\textit{a} & \textit{b}\\\textit{c} & \textit{d}\end{pmatrix}, où a, b, c et d appartiennent à l'ensemble Z et vérifient : ad − bc = 1.
On note I la matrice identité I = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}.
Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l'ensemble S
1. Vérifier que la matrice A = \begin{pmatrix}6 & 5\\-5 & -4\end{pmatrix} appartient à l'ensemble S.
Calculer ad − bc et conclure.
2. Montrer qu'il existe exactement quatre matrices de la forme A = \begin{pmatrix}\textit{a} & 2\\3 & \textit{d}\end{pmatrix} appartenant à l'ensemble S ; les expliciter.
En exploitant l'égalité vérifiée par les matrices de S, déterminer les couples d'entiers relatifs a et d solutions.
3. 
a) Résoudre dans Z l'équation (E) : 5x − 2y = 1. On pourra remarquer que le couple (1 ; 2) est une solution particulière de cette équation.
Utiliser le couple (1 ; 2) solution de l'équation (E) et le théorème de Gauss.
b) En déduire qu'il existe une infinité de matrices de la forme A = \begin{pmatrix}\textit{a} & \textit{b}\\2 & 5\end{pmatrix} qui appartiennent à l'ensemble S. Décrire ces matrices.
Faire le lien avec la question précédente.
Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l'ensemble S
Dans cette partie, on note A = \begin{pmatrix}\textit{a} & \textit{b}\\\textit{c} & \textit{d}\end{pmatrix} une matrice appartenant à l'ensemble S. On rappelle que a, b, c et d sont des nombres entiers relatifs tels que ad − bc = 1.
1. Montrer que les entiers a et b sont premiers entre eux.
Appliquer l'identité de Bezout.
2. Soit B la matrice : B = \begin{pmatrix}\textit{d} & \textit{-b}\\\textit{-c} & \textit{a}\end{pmatrix}.
a) Calculer le produit AB. On admet que l'on a AB = BA.
Calculer le produit des deux matrices.
b) En déduire que la matrice A est inversible et donner sa matrice inverse A−1.
Utiliser la question précédente.
c) Montrer que la matrice A−1 appartient à l'ensemble S.
Vérifier que les éléments de B sont des entiers relatifs et que l'égalité ad − bc = 1 est vraie pour B.
3. Soient x et y deux entiers relatifs. On note x' et y' les entiers relatifs tels que \binom{\textit{x'}}{\textit{y'}} = A \binom{x}{y}.
a) Montrer que x = dx' − by'. On admet de même que y = ay' − cx'.
Utiliser la matrice B en tant que matrice inverse de la matrice A.
b) On note D le PGCD de x et y et on note D' le PGCD de x' et y'. Montrer que D = D'.
Sachant que si D = PGCD(a ; b) alors D divise toutes combinaisons linéaires de a et b, montrer que D divise D' et inversement. Conclure.
4. On considère les suites d'entiers naturels (xn) et (yn) définies par : x0 = 2019, y0 = 673 et pour tout entier naturel
n : \left\{\begin{matrix}x_{n+1}= 2x_{n}+3y_{n} & \\y_{n+1}=x_{n}+2y_{n} &\end{matrix}\right..
En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel n, le PGCD des entiers xn et yn.
Montrer par récurrence que pour tout n, PGCD(xn; yn) = 673.

Annexes

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