Sujet national, juin 2019, exercice de spécialité

Énoncé

On note Z l'ensemble des entiers relatifs.
Dans cet exercice, on étudie l'ensemble S des matrices A qui s'écrivent sous la forme A = \begin{pmatrix}\textit{a} & \textit{b}\\\textit{c} & \textit{d}\end{pmatrix}, où a, b, c et d appartiennent à l'ensemble Z et vérifient : ad − bc = 1.
On note I la matrice identité I = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}.
Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l'ensemble S
1. Vérifier que la matrice A = \begin{pmatrix}6 & 5\\-5 & -4\end{pmatrix} appartient à l'ensemble S.
Calculer ad − bc et conclure.
2. Montrer qu'il existe exactement quatre matrices de la forme A = \begin{pmatrix}\textit{a} & 2\\3 & \textit{d}\end{pmatrix} appartenant à l'ensemble S ; les expliciter.
En exploitant l'égalité vérifiée par les matrices de S, déterminer les couples d'entiers relatifs a et d solutions.
3. 
a) Résoudre dans Z l'équation (E) : 5x − 2y = 1. On pourra remarquer que le couple (1 ; 2) est une solution particulière de cette équation.
Utiliser le couple (1 ; 2) solution de l'équation (E) et le théorème de Gauss.
b) En déduire qu'il existe une infinité de matrices de la forme A = \begin{pmatrix}\textit{a} & \textit{b}\\2 & 5\end{pmatrix} qui appartiennent à l'ensemble S. Décrire ces matrices.
Faire le lien avec la question précédente.
Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l'ensemble S
Dans cette partie, on note A = \begin{pmatrix}\textit{a} & \textit{b}\\\textit{c} & \textit{d}\end{pmatrix} une matrice appartenant à l'ensemble S. On rappelle que a, b, c et d sont des nombres entiers relatifs tels que ad − bc = 1.
1. Montrer que les entiers a et b sont premiers entre eux.
Appliquer l'identité de Bezout.
2. Soit B la matrice : B = \begin{pmatrix}\textit{d} & \textit{-b}\\\textit{-c} & \textit{a}\end{pmatrix}.
a) Calculer le produit AB. On admet que l'on a AB = BA.
Calculer le produit des deux matrices.
b) En déduire que la matrice A est inversible et donner sa matrice inverse A−1.
Utiliser la question précédente.
c) Montrer que la matrice A−1 appartient à l'ensemble S.
Vérifier que les éléments de B sont des entiers relatifs et que l'égalité ad − bc = 1 est vraie pour B.
3. Soient x et y deux entiers relatifs. On note x' et y' les entiers relatifs tels que \binom{\textit{x'}}{\textit{y'}} = A \binom{x}{y}.
a) Montrer que x = dx' − by'. On admet de même que y = ay' − cx'.
Utiliser la matrice B en tant que matrice inverse de la matrice A.
b) On note D le PGCD de x et y et on note D' le PGCD de x' et y'. Montrer que D = D'.
Sachant que si D = PGCD(a ; b) alors D divise toutes combinaisons linéaires de a et b, montrer que D divise D' et inversement. Conclure.
4. On considère les suites d'entiers naturels (xn) et (yn) définies par : x0 = 2019, y0 = 673 et pour tout entier naturel
n : \left\{\begin{matrix}x_{n+1}= 2x_{n}+3y_{n} & \\y_{n+1}=x_{n}+2y_{n} &\end{matrix}\right..
En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel n, le PGCD des entiers xn et yn.
Montrer par récurrence que pour tout n, PGCD(xn; yn) = 673.

Corrigé

Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l'ensemble S
1. Les nombres 6 ; 5 ; − 5 et − 4 sont des entiers relatifs et 6 × (− 4) − 5 × (−5) = 1.
Donc la matrice \mathit{A}= \begin{pmatrix}6 & 5\\-5&-4\end{pmatrix} appartient à l'ensemble \mathit{S}.
2. Une matrice de la forme A = \begin{pmatrix}\textit{a} & 2\\3 & \textit{d}\end{pmatrix} appartient à l'ensemble S si et seulement si :
\textit{a}\in \mathbb{Z} et \textit{d}\in \mathbb{Z}
ad − 6 = 1 soit ad = 7.
Or 7 est un nombre premier, ses seuls diviseurs dans Ensemble Z sont −7, −1, 1, et 7.
Il y a quatre matrices de la forme \begin{pmatrix}\mathit{a} & 2\\3 &\mathit{d}\end{pmatrix} dans \mathit{S}: \mathit{A}_{1}\begin{pmatrix}-1 &2 \\3 &-7\end{pmatrix}, \mathit{A}_{2}\begin{pmatrix}1 &2 \\3&7\end{pmatrix}, \mathit{A}_{3}\begin{pmatrix}-7 & 2\\3& -1\end{pmatrix}, \mathit{A}_{4}\begin{pmatrix}7 & 2\\3&1\end{pmatrix}.
3. 
a)  On remarque que le couple (1 ; 2) est solution de l'équation E dans Ensemble Z d'où :
5x − 2 y = 1 = 5 × 1 − 2 × 2 \Leftrightarrow 5(x − 1) − 2(y − 2) = 0
5(x − 1)  = 2(y − 2), on en déduit que 5 divise 2(y − 2) et que 2 divise 5(x − 1). De plus, 2 et 5 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss : 5 divise y − 2 et 2 divise x − 1.
Si x et y sont solutions de (E) alors il existe donc k et k' dans Ensemble Z tels que x = 2k + 1 et y = 5k' + 2.
Réciproquement : Si x = 2k + 1 et y = 5k' + 2 (avec k et k' deux entiers relatifs) sont solutions de (E) on a 5(2k + 1)  − 2(5k' + 2) = 1
10k + 5 − 10k' − 4 = 1
10(k − k') = 0
k = k'
Conclusion : Les solutions de \left ( \mathit{E}\right ) sont les couples de la forme \left ( 1+2\mathit{k};2+5\mathit{k} \right ) avec \left ( \mathit{k} \right )\in \mathbb{Z}.
b. Une matrice de la forme A = \begin{pmatrix}\textit{a} & \textit{b}\\2 & 5\end{pmatrix} appartient l'ensemble S si et seulement si :
\textit{a}\in \mathbb{Z} et \textit{b}\in \mathbb{Z}
• 5a − 2b = 1.
C'est-à-dire (a ; b) est solution de l'équation de (E) dans Ensemble Z d'où il existe une infinité de matrice de la forme A = \begin{pmatrix}\textit{a} & \textit{b}\\2 & 5\end{pmatrix} appartenant à l'ensemble S.
Il s'agit des matrices de la forme \mathit{A}_{k}= \begin{pmatrix}2\mathit{k}+1 & 5\mathit{k}+2\\2&5\end{pmatrix} avec \mathit{k}\in \mathbb{Z}.
Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l'ensemble S
1. On sait que ad − bc = 1, donc d'après l'identité de Bezout on en déduit que a et b sont premiers entre eux.
2. 
a.  AB=\begin{pmatrix}\textit{ad}-\textit{bc} & 0\\0 & \textit{ad}-\textit{bc}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} = I2. Donc \mathit{AB}= \mathit{I}_{2}.
b. Comme AB est égal à la matrice identité, on en déduit que la matrice A est inversible et que \mathit{A}^{-1}= \mathit{B}.
c. B = A−1 = \begin{pmatrix}\textit{d} & -\textit{b}\\-\textit{c} & \textit{a}\end{pmatrix}, tous les éléments de B sont des entiers relatifs et on a
d × a − (−c) ×  (−b) = ad − bc = 1 car \textit{A}\in \textit{S}.
On en deduit que \mathit{B}= \mathit{A}^{-1}\in S.
3. 
a. On a \binom{{\textit{x}}'}{{\textit{y}}'} = A\binom{x}{y} or la matrice A est inversible et son inverse est B on en déduit que
\binom{x}{y} =  B \binom{{\textit{x}}'}{{\textit{y}}'} d'où \left\{\begin{matrix}\mathit{x}= \mathit{d}{\mathit{x}}'-b{y}'\\\mathit{y}= -\mathit{c}{x}'+\mathit{a}{\mathit{y}}'\end{matrix}\right..
b. Soit D le pgcd de x et y, et D' celui de x' et y'.
D divise toutes combinaisons linéaires de x et y en particulier x' = ax + by et y' = cx + dy donc D est un diviseur commun de x' et y'. On en déduit que D' divise D'.
De même D' divise toutes combinaisons linéaires de x' et y' en particulier x = dx' − by' et y =  −cx' + ay'donc D' est diviseur commun de x et y.
On en déduit que D' divise D.
En conclusion : \mathit{D}= {\mathit{D}}'.
4. Montrons, par récurrence, que pour tout entier n le pgcd de xn et yn est 673.
Initialisation : le pgcd de x0  = 2019 et y0 = 673 est 673, en effet 2019 = 3 × 673.
Hérédité : Supposons que pour un entier \textit{k} \geqslant 0, le pgcd de xk et yk soit 673.
On a \binom{\textit{x}_{\textit{k}+1}}{\textit{y}_{\textit{k}+1}} = A\binom{\textit{x}_{\textit{k}}}{\textit{y}_{\textit{k}}} avec A = \begin{pmatrix}2 & 3\\1 & 2\end{pmatrix} \in \textit{S}.
donc d'après la question 3 b. xk+1 et yk+1 ont le même pgcd que xk et yk soit 673.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, on en déduit que, pour tout \textit{n}\in \mathbb{N}, le pgcd de \mathit{x}_{\mathit{n}} et \mathit{y}_{\mathit{n}} est 673.