Sujet national, juin 2019, exercice 4

Énoncé

5 points
Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.
On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1, dont la figure est donnée ci-après.
Sujet national, juin 2019, exercice 4 - illustration 1
On note I le milieu du segment [EF], J le milieu du segment [EH] et K le point du segment [AD] tel que \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}.
On note P le plan passant par I et parallèle au plan (FHK).
Partie A
Dans cette partie, les constructions demandées seront effectuées sans justification sur la figure donnée précédemment.
1. Le plan (FHK) coupe la droite (AE) en un point qu'on note M. Construire le point M.
Il suffit de tracer l'intersection d'une droite du plan (FHK) avec la droite (AE).
2. Construire la section du cube par le plan P.
Commencer par tracer la parallèle à la droite (HK) passant par J.
Partie B
Dans cette partie, on munit l'espace du repère orthonormé (A ; \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}). On rappelle que P est le plan passant par I et parallèle au plan (FHK).
1. 
a) Montrer que le vecteur \vec{n}=\bigl(\begin{smallmatrix}4\\4\\-3\end{smallmatrix}\bigr) est un vecteur normal au plan (FHK).
En utilisant le produit scalaire, montrer que le vecteur \vec{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (FHK).
b) En déduire qu'une équation cartésienne du plan (FHK) est : 4x + 4y − 3z − 1 = 0.
Grâce aux coordonnées du vecteur normal et à un point du plan (FHK), déterminer l'équation cartésienne de ce plan.
c) Déterminer une équation cartésienne du plan P.
Les deux plans sont parallèles donc le vecteur \vec{n} est normal aux deux plans. On utilise ensuite un raisonnement analogue à la question précédente.
d) Calculer les coordonnées du point {\mathrm{M}}', point d'intersection du plan P et de la droite (AE).
Déterminer une réprésentation paramétrique de la droite (AE) et l'exploiter avec l'équation cartésienne du plan P.
2. On note Δ la droite passant par le point E et orthogonale au plan P.
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ.
Utiliser les coordonnées du point E et d'un vecteur normal à P qui est aussi un vecteur directeur de (Δ).
b) Calculer les coordonnées du point L, intersection de la droite Δ et du plan (ABC).
Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC) et l'utiliser avec la représentation paramétrique de la droite (Δ).
c) Tracer la droite Δ sur la figure donnée précédemment.
Tracer la droite.
d) Les droites Δ et (BF) sont-elles sécantes ? Qu'en est-il des droites Δ et (CG) ? Justifier.
Vérifier la coplanarité des droites. Si elles sont coplanaires, il faut vérifier si elles sont sécantes et conclure. Si elles ne le sont pas, conclure.

Corrigé

Partie A
1. Voir la figure.
2. Voir la figure.
Partie B
1. 
a. Les vecteurs \overrightarrow{FH}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} et \overrightarrow{FK}\begin{pmatrix}-1\\\frac{1}{4}\\-1\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires et dirigent le plan (FHK).
\vec{n}\cdot \overrightarrow{FH}=-4+4+0=0 et \vec{n}\cdot \overrightarrow{FK}=-4+1+3=0.
Ainsi, \vec{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (FHK), donc \overrightarrow{\textit{n}} est normal au plan \left ( \textit{FHK} \right ).
b. Grâce aux coordonnées du vecteur normal \vec{n}, on en déduit qu'une équation cartésienne du plan (FHK) est du type : 4x + 4y − 3zd = 0 avec d\in \mathbb{R}.
Or F\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\in (FHK), donc 4 × 1 + 4 × 0 − 3 × 1 + d = 0 soit d = −1.
En conclusion, une équation cartésienne du plan (FHK) est : 4\mathit{x}+4\textit{y}-3\textit{z}-1= 0.
c. Les plans sont parallèles donc \vec{n} est un vecteur normal de P, on en déduit qu'une équation cartésienne du plan P est du type : 4x + 4y − 3zd = 0 avec d\in \mathbb{R}.
Or I\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\0\\1\end{pmatrix}\in P, donc 4\times \frac{1}{2}+4\times 0-3\times 1+d=0 soit d = 1.
En conclusion, une équation cartésienne du plan P est : 4\mathit{x}+4\mathit{y}-3\mathit{z}+1= 0
d. La droite (AE) passe par A\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} et est dirigée par \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}, ainsi elle admet une représentation paramétrique du type :
\left\{\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=t\end{matrix}\right., t\in \mathbb{R}
En « injectant » dans l'équation cartésienne du plan P, on a : 0 + 0 − 3t + 1 = 0 soit t=\frac{1}{3}.
Et l'on trouve, {\mathit{M}}' \begin{pmatrix}0\\0\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}.
2. 
a. Δ est orthogonale à P donc le vecteur \vec{n} normal à P est un vecteur directeur à Δ, on en déduit qu'une représentation paramétrique de la droite Δ est du type : \left\{\begin{matrix}x=4\mathit{t} & \\y= 4\mathit{t}& , \mathit{t\in \mathbb{R}}\\z= 1-3\mathit{t}&\end{matrix}\right.
b. En utilisant le vecteur \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} en tant que vecteur normal à (ABC) et le point A\in (ABC), on trouve une équation cartésienne de (ABC) : z = 0. Et grâce à la réprésentation paramétrique de Δ : \left\{\begin{matrix}x=4t\\y=4t\\z=1-3t\end{matrix}\right., t\in \mathbb{R}
On a 1 − 3t = 0 soit t=\frac{1}{3} puis on en déduit \mathit{L}\begin{pmatrix}\frac{4}{3}\\\frac{4}{3}\\0\end{pmatrix}.
c. Voir la figure.
d)
\Delta et \left ( \mathit{BF} \right ) ne sont pas coplanaires donc ne sont pas sécantes.
• Une représentation paramétrique de la droite (CG) est :
\left\{\begin{matrix}x=1\\y=1\\z={t}'\end{matrix}\right., {t}'\in \mathbb{R} Et en utilisant celle de Δ : \left\{\begin{matrix}x=4t\\y=4t\\z=1-3t\end{matrix}\right., t\in \mathbb{R}on trouve t=\frac{1}{4} et {t}'=\frac{1}{4}.
Ainsi les droites \Delta et \left ( \mathit{CG} \right ) sont séantes en un point de coordonnées\begin{pmatrix}1\\1\\\frac{1}{4}\end{pmatrix}.
Sujet national, juin 2019, exercice 4 - illustration 2
Figure / Annexe :