Sujet national, juin 2019, exercice 3

Énoncé

4 points
Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
1. Dans l'ensemble Ensemble C des nombres complexes, on considère l'équation (E):z^{2}-2\sqrt{3}z+4=0.
On note A et B les points du plan dont les affixes sont les solutions de (E).
Affirmation 1 : Le triangle OAB est équilatéral.
Résoudre l'équation et calculer les modules correspondants aux longueurs des côtés du triangle.
2. On note u le nombre complexe : u=\sqrt{3}+\bar{i} et on note \bar{u} son conjugué.
Affirmation 2 : u^{2019}+\bar{u}^{2019}=2^{2019}.
Ecrire u et \bar{u} sous forme exponentielle et décomposer judicieusement 2019.
3. Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction fn définie sur l'intervalle [0;+\infty [ par :
f_{\mathrm{M}}(x)=xe^{-nx+1}.
Affirmation 3 : Pour tout entier naturel n supérieur ou égal 1, la fonction fn admet un maximum.
Calculer la dérivée de fn(x) et en déduire les variations de fn(x).
4. On note C la courbe représentative de la fonction f définie sur Ensemble R par : f(x)=\cos (x)e^{-x} .
Affirmation 4 : La courbe C admet une asymptote en +\infty.
Encadrer f(x) et en déduire la limite de f(x) à l'aide du thèoréme des gendarmes.
5. 
Soit A un nombre réel strictement positif.
On considère l'algorithme ci-après.
Sujet national, juin 2019, exercice 3 - illustration 1
On suppose que la variable I contient la valeur 15 en fin d'exécution de cet algorithme.
Affirmation 5 : 15 ln(2) inférieur ou égal ln(A) inférieur ou égal 16 ln(2)
Utiliser la valeur de I correspondante à la condition d'arrêt de l'algorithme.

Corrigé

1. On résout l'équation et on a \Delta =(-2\sqrt{3})^{2}-4\times 1\times 4=-4< 0.
On a donc deux solutions complexes :
z_{A}=\frac{2\sqrt{3}+i\sqrt{4}}{2\times 1}=\sqrt{3}+i et z_{B}=\overline{z_{1}}=\sqrt{3}-i.
On calcule OA=| z_{A}-z_{O}| =| \sqrt{3}+i| =\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}=2 et de même OB = 2.
D'autre part AB=| z_{B}-z_{A}| =| \sqrt{3}-i-(\sqrt{3}+i)| =| -2i| =2.
On a OAOBAB, le triangle OAB est donc équilatéral.
L'affirmation 1 est vraie.
2. On a |u| = 2 et si on note θ l'argument de u : \cos (\mathit{\Theta} )=\frac{\sqrt{3}}{2} et \sin (\mathit{\Theta })=\frac{1}{2}. Donc \mathit{\Theta }=\frac{\pi }{6}.
Ainsi, sous forme exponentielle, u=2e^{i\frac{\pi }{6}} et \bar{u}=2e^{-i\frac{\pi }{6}}.2019=336\times 6+3, ainsi u^{2019}=2^{2019}(e^{i\frac{\pi }{6}})^{2019}=2^{2019}e^{i336+i\frac{3\pi }{6}}=2^{2019}e^{i\frac{\pi }{2}}=2^{2019}i.
De même, \bar{u}^{2019}=-2^{2019}i. Ainsi, u^{2019}+\bar{u}^{2019}=0. L'affirmation 2 est fausse.
3. 
Calculons la dérivée de fn(x), en tant que dérivée d'un produit de fonctions dérivables :{f}'_{n}(x)=1e^{-nx+1}+x\times (-n)e^{-nx+1}=(1-nx)e^{-nx+1}.
e^{-nx+1} est strictement positif, ainsi en étudiant le signe de (1 − nx) qui s'annule en \frac{1}{n}, on obtient :
Sujet national, juin 2019, exercice 3 - illustration 2
Ainsi, fn(x) admet un maximum en \frac{1}{n}. L'affirmation 3 est vraie.
4. Sachant que −1 inférieur ou égal cos(x) inférieur ou égal 1, on a donc -e^{-x}\leqslant \cos (x)e^{-x}\leqslant e^{-x} (car ex est positif).
Or \lim_{x\rightarrow +\infty }(e^{-x})=\lim_{x\rightarrow +\infty }(-e^{-x})=0, donc d'après le théorème des gendarmes : \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0.
La courbe de la fonction f admet donc une asymptote horizontale, l'axe (Ox)) en +\infty.
L'affirmation 4 est vraie.
5. L'algorithme s'arrête lorsque I = 15, donc on a 214 inférieur ou égal A et 215 supérieur ou égal A ou encore 214 inférieur ou égal A inférieur ou égal 215. En appliquant la fonction ln croissante sur [0;+\infty [, on a : ln(214) inférieur ou égal ln(A) inférieur ou égal ln(215).
Soit 14ln(2) inférieur ou égal ln(A) inférieur ou égal 15ln(2).
L'affirmation 5 est fausse.