Sujet national, juin 2019, exercice 2

Énoncé

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Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B.
Partie A
Les durées des parties de type A et de type B, exprimées en minutes, peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires notées XG et XH.
La variable aléatoire XG suit la loi uniforme sur l'intervalle [9 ; 25].
La variable aléatoire XH suit la loi normale de moyenne μ et d'écart type 3. La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.
Sujet national, juin 2019, exercice 2 - illustration 1
1. 
a)  Calculer la durée moyenne d'une partie de type A.
Appliquer la formule de l'espérance de la loi uniforme.
b) Préciser à l'aide du graphique la durée moyenne d'une partie de type B.
Lire sur le graphique l'espérance de la loi normale.
2. On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu. Quelle est la probabilité que la durée d'une partie soit inférieure à 20 minutes ? On donnera le résultat arrondi au centième.
Il faut utiliser la formule des probabilités totales.
Partie B
On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :
• si le joueur achève une partie de type A, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type A avec une probabilité de 0,8 ;
• si le joueur achève une partie de type B, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type B avec une probabilité de 0,7.
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note AM et BM les événements :
AM : « la n-ième partie est une partie de type A. »
BM : « la n-ième partie est une partie de type B. »
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note aM la probabilité de l'événement AM.
1. 
a) Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-après.
Utiliser l'énoncé pour complèter l'arbre.
Sujet national, juin 2019, exercice 2 - illustration 2
b) Montrer que pour tout entier naturel \textit{n}\geq 1, on a :
an+1 = 0,5an + 0,3.
Dans la suite de l'exercice, on note a la probabilité que le joueur joue au jeu A lors de sa première partie, où a est un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; 1]. La suite (an) est donc définie par :
a1 = a, et pour tout entier naturel \textit{n}\geq 1, an+1 = 0,5an  + 0,3.
Appliquer la formule des probabilités totales.
2. Étude d'un cas particulier : Dans cette question, on suppose que a = 0,5.
a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \textit{n}\geq 1, on a : 0\leq a_{\textit{n}}\leq 0,6.
Se servir de la relation de récurrence de an et transformer la double inégalité.
b) Montrer que la suite (an) est croissante.
Étudier le signe de an+1 −  an.
c) Montrer que la suite (an) est convergente et préciser sa limite.
Conclure à l'aide des deux questions précédentes.
3. 
Étude du cas général : Dans cette question, le réel a appartient à l'intervalle [0 ; 1].
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel \textit{n}\geq 1 par : un = an −  0,6.
a)  Montrer que la suite (un) est une suite géométrique.
Exprimer un+1 en fonction de un.
b) En déduire que pour tout entier naturel \textit{n}\geq 1 on a : an = (a − 0,6) × 0,5n-1 + 0,6.
En déduire un en fonction de n et ainsi exprimer an en fonction de n.
c) Déterminer la limite de la suite (an). Cette limite dépend-elle de la valeur de a ?
On sait que si −1 < q < 1, alors \lim_{n\rightarrow +\infty }(q^{n})= 0.
d) La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type A et une autre publicité insérée en début des parties de type B. Quelle devrait être la publicité la plus vue par un joueur s'adonnant intensivement aux jeux vidéo ?
Interpréter la limite précédente.

Corrigé

Partie A
1. 
a)
XA suit une loi uniforme. Durée moyenne = Espérance = \frac{9+25}{2}= 17\,\textrm{min}.
Donc la durée moyenne d'une partie de type A est de 17 min.
b)
Graphiquement on trouve μ = 17 ce qui correspond à l'espérance de XB.
Donc la durée moyenne d'une partie de type B est de 17 min.
2. Soit X la durée moyenne d'une partie.
P(X< 20)= \frac{1}{2}\times P(X_{A}< 20)+\frac{1}{2}\times P(X_{B}< 20)\approx \frac{1}{2}\times \frac{20-9}{25-9}+\frac{1}{2}\times 0.84 (grâce à la calculatrice).
Ainsi, on trouve (au centième près) P(X < 20)\approx 0,76.
Partie B
1. 
a) Grâce aux données de l'énoncé, on a :
Sujet national, juin 2019, exercice 2 - illustration 3
b)  On applique la formule des probabilités :
\textit{p}(A_{\textit{n}+1})= p(\textit{A}_{\textit{n}}\cap \textit{A}_{\textit{n}+1})+\textit{p}(\textit{B}_{\textit{n}}\cap \textit{A}_{\textit{n}+1})= \textit{a}_{\textit{n}}\times 0,8+(1-\textit{a}_{\textit{n}})\times 0,3= 0,8\textit{a}_{\textit{n}}+0,3-0,3\textit{a}_{\textit{n}}.
Donc \textit{p}\left ( \mathit{A}_{\textit{n}+1} \right )= 0,5a_{\textit{n}}+0,3.
2. 
a) On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \textit{n} \geqslant 1, on a : 0\leqslant a_{n} \leqslant 0,6.
Initialisation : Pour n = 1, on a a1 = a or \textit{a}_{1}\in [0 ;1]. donc 0 \leqslant \textit{a}_{1} \leqslant 0,6. La propriété est vérifié au rang 1.
Hérédité : Supposons que pour un entier naturel k on ait 0\leqslant \textit{a}_{k}\leqslant 0,6.
On a donc 0,5\times 0+0,3 \leqslant 0,5\textit{a}_{\textit{k}}+0,3 \leqslant 0,5\times 0,6+0,3, soit 0\leqslant 0,3\leqslant \textit{a}_{\textit{k}+1} \leqslant 0,6.
La propriété est donc vérifiée au rang k +   1.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire. Donc pour tout entier naturel n, 0\leqslant \textit{a}_{n}\leqslant 0,6.
b) an+1 −  an = 0,5an + 0,3  −  an = 0,3 − 0,5an.
Or 0 \leqslant \textit{a}_{\textit{n}} \leqslant 0,6, donc on montre facilement que 0\leqslant 0,3-0,5\textit{a}_{\textit{n}} \leqslant 0,3.
Ainsi, a_{n+1}-a_{n}\geqslant 0, la suite \left ( \textit{a}_{\textit{n}} \right ) est donc croissante.
c) Avec les résultats précédents, la suite (an) est croissante et majorée par 0,6, elle est donc convergente vers l. l vérifie l = 0,5l + 0,3 soit \mathit{l}= 0,6.
3. 
a)  On exprime un+1 en fonction de un :
un+1 = an+1 − 0,6
= 0,5an + 0,3  − 0,6
= 0,5an − 0,3
= 0,5(an − 0,6)
= 0,5un.
Donc : \left ( \textit{u}_{n} \right ) est géométrique de raison 0,5 et de premier terme \textit{u}_{1}= \textit{a}_{1}-0,6= \textit{a}-0,6.
b) On a donc un = (a − 0,6) 0,5n−1 or un = an − 0,6 donc \textit{a}_{n}= \textit{u}_{n}+0,6= \left ( \mathit{a}-0,6 \right )0,5^{\textit{n}-1}+0,6.
c) On a − 1 < 0,5 < 1, on en déduit que \lim_{\textit{n}\rightarrow \infty }((\textit{a}-0,6)\times 0,5^{\textit{n}-1}+0,6)= 0,6.
La suite \left ( \mathit{a}_{n} \right ) converge vers 0,6 (limite qui ne dépend pas de la valeur de a).
d) Quand n est très grand, la probabilité qu'il fasse une partie de type A est de 0,6. Ainsi, pour une personne qui s'adonne intensivement aux jeux vidéos, la publicité la plus vue est celle insérée en début des parties de type A.