Sujet national, juin 2019, exercice 1

Énoncé

6 points
Partie A
On considère la fonction f définie sur l'ensemble Ensemble R des nombres réels par :
f(x)=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x}).
1. 
a) Déterminer la limite de la fonction f en +\infty.
Il faut utiliser les limites connues de la fonction exponentielle.
b) Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; +\infty[.
On calcule la dérivée de f et on étudie son signe.
c) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet, sur l'intervalle [0 ;+\infty[, une unique solution, qu'on note α.
On utilise le théorème des valeurs intermédiaires (plus exactement son corollaire, cas strictement monotone pour une unique solution) sur l'intervalle [0 ; +\infty[.
2. En remarquant que, pour tout réel x, f(−x) = f(x), justifier que l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions dans Ensemble R et qu'elles sont opposées.
En utilisant la parité de la fonction f, on peut réutiliser le théorème des valeurs intermédiaires sur [0 ; +\infty[, puis on conclut sur Ensemble R.
Partie B
Les serres en forme de tunnel sont fréquemment utilisées pour la culture des plantes fragiles ; elles limitent les effets des intempéries ou des variations de température.
Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé d'unité 1 mètre. La fonction f et le réel α sont définis dans la partie A. Dans la suite de l'exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe C de la fonction f sur l'intervalle [−α ; α].
On a représenté ci-après la courbe C sur l'intervalle [−α ; α].
Sujet national, juin 2019, exercice 1 - illustration 1
On admettra que la courbe C admet l'axe des ordonnées pour axe de symétrie.
1. Calculer la hauteur d'un arceau.
Il suffit de calculer f (0).
2. 
a) Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbe C sur l'intervalle [0 ; α]. On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l'intégrale :
I=\int_{0}^{\alpha }\sqrt{1+({f}'(x))^{2}}dx.
Montrer que pour tout réel x, on a : 1+({f}'(x))^{2}=^{\underline{1}}(e^{x}+e^{-x})^{2}.
En utilisant l'expression de {f}'(x), il faut développer et réduire l'expression \left ( \frac{-1}{2}(e^{x}-e^{-x}) \right )^{2} et factoriser l'expression globale.
b) En déduire la valeur de l'intégrale I en fonction de α.
Justifier que la longueur d'un arceau, en mètre, est égale à : e^{x}-e^{-x}.
En utilisant une primitive de la fonction sous l'intégrale, on trouve I en fonction de α, puis on en déduit la longueur d'un arceau.
Partie C
On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.
On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite dans la partie précédente, espacés de 1,5 mètre, comme indiqué sur le schéma ci-après.
Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma par le rectangle ABCD de largeur 1 mètre et de longueur 2 mètres.
Sujet national, juin 2019, exercice 1 - illustration 2
On souhaite connaître la quantité, exprimée en m2, de bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre. Cette bâche est constituée de trois parties, l'une recouvrant la façade nord, l'autre la façade sud (sauf l'ouverture), la troisième partie de forme rectangulaire recouvrant le dessus de la serre.
1. Montrer que la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en m2, par :
A=4\int_{0}^{\alpha }f(x)dx-2.
On calcule l'intégrale correspondant à l'aire des facades nord et sud et on retire l'aire du rectangle correspondant à l'ouverture.
2. On prend 1,92 pour valeur approchée de α. Déterminer, au m2 près, l'aire totale de la bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.
On rajoute, à l'aire trouvée dans la question précédente, l'aire du rectangle recouvrant le dessus de la serre (largeur = 3 × 1 m 50 ; longueur = longueur d'un arceau).

Corrigé

Partie A
1.  
a. D'après le cours, on sait que : \lim_{x\rightarrow +\infty }(e^{x})=+\infty et \lim_{x\rightarrow +\infty }(e^{-x})=0, donc par somme et produit on trouve \lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \frac{-1}{2}(e^{x}+e^{-x}) \right )=-\infty et donc finalement \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=-\infty.
b. {f }'(x)=\frac{-1}{2}(e^{x}-e^{-x}) or on peut remarquer que sur [0;+\infty [, e^{x}\geqslant e^{-x} ainsi (e^{x}-e^{-x})\geqslant 0.
D'où {f}'(x) est négative sur [0;+\infty [. Ainsi, f est décroissante sur [0;+\infty [.
c. Sur l'intervalle [0;+\infty [, la fonction f est strictement décroissante, continue (car dérivable) et 0\in ]-\infty ;\frac{5}{2}].
En effet \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=-\infty est négatif et f(0)=\frac{5}{2} est positif).
Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation \textit{f} (\textit{x}) = 0 admet une unique solution strictement positive notée α sur l'intervalle [0;+\infty [.
2.  On remarque que f (−x) = f (x), donc la fonction f est paire. Ainsi (avec un raisonnement analogue à 1.c.) l'équation f (x) = 0 admet une unique solution strictement négative sur l'intervalle ]-\infty ;0] or f (−α) = f (α) = 0.
Ainsi, sur Ensemble R, l'équation \textit{f} (\mathit{x}) = 0 admet deux solutions, qui sont α et −α (donc opposées).
Partie B
1.  Hauteur de l'arceau : f(0)=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\times (e^{0}+e^{-0})=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\times (1+1)=\frac{5}{2}.
2.  
a.  Calculons 1+({f}'(x))^{2}.
1+({f}'(x))^{2}=1+(\frac{-1}{2}(e^{x}-e^{-x}))^{2}=1+\frac{1}{4}((e^{x})^{2}-2e^{-x}\times e^{-x}+(e^{-x})^{2})
=\frac{4}{4}+\frac{1}{4}(e^{2x}-2+e^{-2x})=\frac{4+e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}=\frac{1}{4}(e^{2x}+2+e^{-2x})=\frac{1}{4}(e^{x}+e^{-x})^{2}
donc 1+({f}'(x))^{2}=\frac{1}{4}(e^{x}+e^{-x})^{2}.
b.  Calcul de I :
I=\int_{0}^{\alpha }\sqrt{1+({f}'(x))^{2}dx}=\int_{0}^{\alpha }\sqrt{\frac{1}{4}(e^{x}+e^{-x})^{2}}dx=\int_{0}^{\alpha }\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})dx
=\left [ \frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) \right ]_{0}^{\alpha }=\frac{1}{2}(e^{\alpha }-e^{-\alpha })-\frac{1}{2}(e^{0}-e^{0})=\frac{1}{2}(e^{\alpha }-e^{-\alpha }).
La fonction f est paire, ainsi la longueur d'un arceau est égale au double de la longueur de la courbe sur l'intervalle [0 ; α], donc : Longueur d'un arceau = 2\times I=2\times \frac{1}{2}(e^{\alpha }-e^{-\alpha })=e^{\alpha }-e^{-\alpha }.
Partie C
1.  En utilisant la symétrie de la courbe, on sait que la quantité de bâche pour recouvrir les faces nord et sud (sauf l'ouverture) est :
A=2\times 2\int_{0}^{\alpha }f(x)dx-2\times 1=4\int_{0}^{\alpha }f(x)dx-2.
2.  On prend \alpha \approx 1,92 et on ajoute l'aire du rectangle recouvrant le dessus de la serre (largeur = 3 × 1, 50 = 4, 50 ; longueur = longueur d'un arceau = e^{\alpha }-e^{-\alpha } d'après B.2.b.), on a :
Aire totale = 4\int_{0}^{\alpha }f(x)dx-2+4,5\times (e^{1,92}-e^{-1,92})=4\int_{0}^{\alpha }\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\times (e^{x}+e^{-x})dx-2+4,5\times (e^{1,92}-e^{-1,92}).
Aire totale = 4\left [ \frac{7}{2} x - \frac{1}{2} (e^{x} - e^{-x}) \right ]_{0}^{1,92} - 2+4,5\times (e^{1,92} - e^{-1,92}).
Aire totale \approx 42 m2.