Sujet national, juin 2018, exercice de spécialité


Énoncé

5 points
Partie A
On considère l'équation suivante dont les inconnues x et y sont des entiers naturels :
x^{2} - 8y^{2}=1. (E)
1. 
Déterminer un couple solution (x ; y) , où x et y sont deux entiers naturels.
Trouver un couple d'entiers (x ; y) « simples », solution de l'équation (E).
2. 
On considère la matrice A=\begin{pmatrix}3 & 8\\1 & 3\end{pmatrix}.
On définit les suites d'entiers naturels (xn) et (yn) par :
x0 = 1, y0 = 0, et pour tout entier naturel n, \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=A\bigl(\begin{smallmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{smallmatrix}\bigr).
a) 
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le couple (xn ; yn) est solution de l'équation (E).
Après avoir (par produit de matrices) exprimé x_{n+1} et y_{n+1} en fonction de x_n et y_n, faire une démonstration par récurrence, en utilisant « x_k^2-8y_k^2=1 » comme hypothèse de récurrence.
b) 
En admettant que la suite (xn) est à valeurs strictement positives, démontrer que pour tout entier naturel n, on a : x_{n+1} > x_{n}.
Montrer que x_{n+1}-x_n>0, en utilisant l'expression de x_{n+1} en fonction de x_n et de y_n.
3. 
En déduire que l'équation (E) admet une infinité de couples solutions.
Utiliser les résultats précédents pour conclure.
Partie B
Un entier naturel n est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier p de n, p2 divise n.
1. 
Vérifier qu'il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à 10 qui sont puissants.
L'objectif de cette partie est de démontrer, à l'aide des résultats de la partie A, qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d'en trouver quelques exemples.
Tester les entiers inférieurs à 10 et en trouver deux consécutifs qui conviennent.
2. 
Soient a et b deux entiers naturels.
Montrer que l'entier naturel n=a^{2}b^{2} est un nombre puissant.
Utiliser l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers et distinguer deux cas : p divise a et p divise b.
3. 
Montrer que si (x ; y) est un couple solution de l'équation (E) définie dans la partie A, alors x^{2} - 1 et x2 sont des entiers consécutifs puissants.
Remarquer que x^2 est puissant, puis exprimer x^2-1 en fonction de y. Conclure.
4. 
Conclure quant à l'objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.
Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à 2018.
Faire le lien avec ce qui précède et, avec la méthode de son choix, calculer les premiers termes des suites (x_n) et (y_n) pour en déduire deux nombres consécutifs puissants supérieurs à 2018.

Annexes

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