Sujet national, juin 2018, exercice de spécialité

Énoncé

5 points
Partie A
On considère l'équation suivante dont les inconnues x et y sont des entiers naturels :
x^{2} - 8y^{2}=1. (E)
1. 
Déterminer un couple solution (x ; y) , où x et y sont deux entiers naturels.
Trouver un couple d'entiers (x ; y) « simples », solution de l'équation (E).
2. 
On considère la matrice A=\begin{pmatrix}3 & 8\\1 & 3\end{pmatrix}.
On définit les suites d'entiers naturels (xn) et (yn) par :
x0 = 1, y0 = 0, et pour tout entier naturel n, \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=A\bigl(\begin{smallmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{smallmatrix}\bigr).
a) 
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le couple (xn ; yn) est solution de l'équation (E).
Après avoir (par produit de matrices) exprimé x_{n+1} et y_{n+1} en fonction de x_n et y_n, faire une démonstration par récurrence, en utilisant « x_k^2-8y_k^2=1 » comme hypothèse de récurrence.
b) 
En admettant que la suite (xn) est à valeurs strictement positives, démontrer que pour tout entier naturel n, on a : x_{n+1} > x_{n}.
Montrer que x_{n+1}-x_n>0, en utilisant l'expression de x_{n+1} en fonction de x_n et de y_n.
3. 
En déduire que l'équation (E) admet une infinité de couples solutions.
Utiliser les résultats précédents pour conclure.
Partie B
Un entier naturel n est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier p de n, p2 divise n.
1. 
Vérifier qu'il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à 10 qui sont puissants.
L'objectif de cette partie est de démontrer, à l'aide des résultats de la partie A, qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d'en trouver quelques exemples.
Tester les entiers inférieurs à 10 et en trouver deux consécutifs qui conviennent.
2. 
Soient a et b deux entiers naturels.
Montrer que l'entier naturel n=a^{2}b^{2} est un nombre puissant.
Utiliser l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers et distinguer deux cas : p divise a et p divise b.
3. 
Montrer que si (x ; y) est un couple solution de l'équation (E) définie dans la partie A, alors x^{2} - 1 et x2 sont des entiers consécutifs puissants.
Remarquer que x^2 est puissant, puis exprimer x^2-1 en fonction de y. Conclure.
4. 
Conclure quant à l'objectif fixé pour cette partie, en démontrant qu'il existe une infinité de couples de nombres entiers consécutifs puissants.
Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à 2018.
Faire le lien avec ce qui précède et, avec la méthode de son choix, calculer les premiers termes des suites (x_n) et (y_n) pour en déduire deux nombres consécutifs puissants supérieurs à 2018.

Corrigé

Partie A
1. On a 1^2-8\times 0^2 = 1. Le couple (1 ; 0) est donc une solution particulière de (E).
2. 
Les suites d'entiers naturels (xn) et (yn) vérifient : x_n=1, y_n=0 et \begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 &8\\1&3\\\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\\\end{pmatrix}.
Autrement dit, pour tout n \in \mathbb{N} x_n=1, y_n=0 et\begin{cases}x_{n+1}=3x_n+8y_n\\y_{n+1}=x_n+3y_n\\\end{cases}.
a) On veut démontrer par récurrence que pour tout n \in \mathbb{N}, le couple \left(x_n; y_n\right) est solution de (E).
Tout d'abord, remarquons que l'énoncé précise que pour toutn \in \mathbb{N}, x_n \in \mathbb{N} et y_n \in \mathbb{N}.
Initialisation
On a vu à la question 1) que x_0=1 et y_0=0 forment un couple solution de (E). La propriété est donc vraie au rang 0.
Hérédité
Supposons que pour un entier naturel k, le couple (x_k;y_k) soit solution de (E), c'est-à-dire x_k^2-8y_k^2=1.
Or, on sait que \begin{cases}x_{k+1}=3x_k+8y_k\\y_{k+1}=x_k+3y_k\\\end{cases}.
x_{k+1}^2-8y_{k+1}^2 = (3x_k+8y_k)^2-8(x_k+3y_k)^2
\Leftrightarrow x_{k+1}^2-8y_{k+1}^2 = 9x_k^2+48x_kyk+64y_k^2-8x_k^2-48x_ky_k-72y_k^2
\Leftrightarrow x_{k+1}^2-8y_{k+1}^2 = x_k^2-8y_k^2
(on utilise l'hypothèse de récurrence x_k^2-8y_k^2=1)
\Leftrightarrow x_{k+1}^2-8y_{k+1}^2 = 1.
La propriété est donc vraie au rang k+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang n=0 et est héréditaire, donc pour tout entier n, le couple d'entiers naturels (x_n;y_n) est solution de (E).
b) On admet que la suite (x_n) est à valeur strictement positive, c'est-à-dire que pour tout n \in \mathbb{N}, x_n >0.
Pour étudier la monotonie de la suite (x_n) on étudie, pour tout n \in \mathbb{N}, le signe de la différence x_{n+1}-x_n :
x_{n+1}-x_n = 3x_n+8y_n-x_n
x_{n+1}-x_n = 2x_n+8y_n.
Or x_n est un entier naturel et y_n est entier naturel non nul, donc 2x_n+8y_n \geqslant x_n.
x_{n+1}-x_n \geqslant x_n or x_n >0, d'où x_{n+1}-x_n >0, donc pour tout n \in \mathbb{N}, x_{n+1}>x_n.
Autrement dit, la suite (x_n) est strictement croissante.
3. On sait que pour tout n \in \mathbb{N}, le couple d'entiers naturels (x_n;y_n) est solution de (E), de plus tous les entiers x_n sont distincts, car la suite (x_n) est strictement croissante.
On en déduit qu'il y a une infinité de couples d'entiers naturels (x ; y) solutions de (E), en particulier les (x_n;y_n).
Partie B
1. Les entiers 8 et 9 sont des entiers consécutifs puissants. En effet, si on considère leurs décompositions en produit de facteurs premiers, on a 8 = 23 et 9 = 32.
Le seul diviseur premier de 8 est 2 or 22 = 4 divise bien 8. 8 est donc bien puissant.
Le seul diviseur premier de 9 est 3 or 32 = 9 divise bien 9. 9 est donc bien puissant.
Il existe deux entiers naturels consécutifs inférieurs à 10 puissants : 8 et 9.
2. 
Pour a \in \mathbb{N} et b\in \mathbb{N}, on considère l'entier naturel n=a^2b^3.
Par unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers, tout diviseur premier p de n divisera a2 ou b3, et par conséquent a ou b (ou additif : a ou b, ou les deux).
• Si p divise a alors p2 divise a2, donc p2 divise n.
• Si p divise b alors p2 divise b2, mais aussi b3, donc p2 divise donc n.
Conclusion : si p, un nombre premier, divise n=a^2b^3 alors p2 divise aussi n.
Les entiers de la forme n=a^2b^3 avec a et b entiers sont des entiers puissants.
3. Soit un couple (x ; y) d'entiers solution de (E).
x2 est de manière évidente puissant : si p premier divise x2, p divise x et donc p2 divise x2.
On a x^2-8y^2=1, donc x^2-1 = 8y^2 qui est de la forme a^2b^3, avec a=y et b=2, donc d'après la question précédente x^2-1 est puissant.
Conclusion : si (x ; y) est solution de (E), alors x^2-1 et x2 sont deux entiers consécutifs puissants.
4. Dans la partie A, on a montré qu'il existait une infinité de solution de (E), en particulier les couples constitués des termes des suites (x_n) et (y_n), et pour tout n\in \mathbb{N} x_{n+1} > x_n. On peut en déduire d'après la question précédente que, pour tout n\in \mathbb{N} : x_n^2-1 et x_n^2 sont des entiers consécutifs puissants.
Pour déterminer deux nombres consécutifs puissants supérieurs à 2018, on peut utiliser la calculatrice et calculer les termes des suites (x_n) et (y_n), en utilisant la relation de récurrence (ou directement avec des puissances de matrices) :
\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 &8\\1&3\\\end{pmatrix}^n \times\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}et pour n=3 on a x_3 = 99 et y_3 = 35.
Soit 992 − 1 = 9800 et 992 = 9801 sont des entiers consécutifs puissants supérieurs à 2018.