Sujet national, juin 2018, exercice 4

Énoncé

5 points
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \left ( O, \vec{u}, \vec{v} \right ).
On pose \mathrm{z_{0}=8} et, pour tout entier naturel n :
\mathrm{z_{\mathit{n}+\mathrm{1}}}=\mathrm{\frac{3-i\sqrt{3}}{4}}\mathrm{z_{n}}.
On note An le point du plan d'affixe Zn.
1. 
a) Vérifier que :
\mathrm{\frac{3-i\sqrt{3}}{4}}=\mathrm{\frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{-i\frac{\mathit{n}}{6}}}.
Utiliser \text{e}^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta.
b) 
En déduire l'écriture de chacun des nombres complexes z1, z2 et z3 sous forme exponentielle et vérifier que z3 est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.
Utiliser la relation entre z_{n+1} et z_n et \text{e}^{i\theta}\times \text{e}^{i\alpha}=\text{e}^{i(\theta + \alpha)}.
c) 
Représenter graphiquement les points A0, A1, A2 et A3 ; on prendra pour unité le centimètre.
Un point d'affixe r\text{e}^{i\theta} se trouve à l'intersection du cercle de rayon r et de la demi-droite d'origine O et d'angle \theta par rapport à l'axe des réels positifs.
2. 
a) 
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
z_{n}=8\times \left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{n}\mathrm{e^{-i\frac{n\pi}{6}}}.
Utiliser la relation entre z_{n+1} et z_n et \text{e}^{i\theta}\times \text{e}^{i\alpha}=\text{e}^{i(\theta + \alpha)}.
b) 
Pour tout entier naturel n, on pose u_{n}=\left | z_{n} \right | .
Déterminer la nature et la limite de la suite (un).
Le module d'un produit est égal au produit des modules. Et ensuite : si -1< q <1, alors \lim_{n\rightarrow +\infty} \left(q^n \right) =0.
3. 
a) 
Démontrer que, pour tout entier naturel k,
\mathrm{\frac{z_{k+1}-z_{k}}{z_{k+1}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{i}.
En déduire que, pour tout entier naturel k, on a l'égalité : \mathrm{A}_{\mathit{k}}\mathrm{A}_{\mathit{k\mathrm{+1}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{OA}_{k\mathrm{+1}}.
En utilisant l'expression initiale de z_{n+1} en fonction de z_n, puis en s'aidant d'une factorisation et d'une simplification par z_n, on termine le calcul.
b) 
Pour tout entier naturel n, on appelle ln la longueur de la ligne brisée reliant dans cet ordre les points A0, A1, A2,… An − 1, An.
On a ainsi : l_n=A_0A_1 + A_1A_2 \ldots +A_{n-1}A_n.
Démontrer que la suite (ln) est convergente et calculer sa limite.
Utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique :
si -1< q <1, alors \lim_{n\rightarrow +\infty} q^n =0.

Corrigé

1. 
a) On effectue le calcul en utilisant la forme exponentielle \text{e}^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta.
\frac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \cos\left( -\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{6}\right) \right)
\frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right)
\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i = \frac{3-\sqrt{3}i}{4}.
Donc : \frac{3-\sqrt{3}i}{4}i=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}}.
b) Dans cette question, on utilise la forme exponentielle pour tout entier naturel n : z_0=8 et z_{n+1}= \frac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}}z_n.
Donc : z_1= \frac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}} \times 8 = 4\sqrt{3}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}}.
Puis : z_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}} \times 4\sqrt{3}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}}=6\text{e}^{-i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)} = 6\text{e}^{-i\frac{\pi}{3}}.
Enfin : z_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}} \times 6 \times \text{e}^{-i\frac{\pi}{3}} = 3\sqrt{3}\text{e}^{-i\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)}= 3\sqrt{3}\text{e}^{-i\frac{\pi}{2}}.
L'argument de z_3 est -\frac{\pi}{2}, c'est donc un imaginaire pur, on a z_3=-3\sqrt{3}i.
c) 
Pour placer les points sur le graphique, le plus simple est d'utiliser le module et l'argument de chaque nombre complexe. Par exemple, le point A_2 d'affixe z_2 se trouve à l'intersection du cercle de centre O de rayon 6 et de la demi-droite d'origine O et d'angle-\frac{\pi}{3} par rapport à l'axe des réels positifs.
Sujet national, juin 2018, exercice 4 - illustration 1
2. 
a) On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, z_n = 8 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{-i\frac{n\pi}{6}}.
Initialisation : pour n = 0, on a 8\times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^0 \text{e}^{-i\frac{0 \times \pi}{6}} = 8 \times 1 \times \text{e}^{0}=z_0.
La propriété est vérifié au rang 0.
Hérédité : supposons que pour un entier naturel k on ait z_k = 8 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k \text{e}^{-i\frac{k\pi}{6}}.
On a z_{k+1}= \frac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}} \times z_k. On utilise l'hypothèse de récurrence :
z_{k+1}= \frac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-i\frac{\pi}{6}} \times 8 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k \text{e}^{-i\frac{k\pi}{6}}= 8 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{k+1} \text{e}^{-i\frac{{k+1}\pi}{6}}.
La propriété est donc vérifiée au rang k+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire.
Donc pour tout entier naturel n, z_n = 8 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \text{e}^{-i\frac{n\pi}{6}}.
b) Pour tout entier naturel n, on pose u_n = \vert z_n \vert. On sait que le module d'un produit est égal au produit des modules :
\vert z_n \vert = 8 \times \left \vert \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n \right\vert \times \left\vert \text{e}^{-i\frac{n\pi}{6}} \right\vert = 8 \times \left \vert\frac{\sqrt{3}}{2} \right\vert^n \times 1=8 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n.
La suite (u_n) est de la forme u_0\times q^n.
C'est donc une suite géométrique de premier terme u_0=8 et de raison q= \frac{\sqrt{3}}{2}.
On a -1< \frac{\sqrt{3}}{2} <1, on en déduit que \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n =0. La suite (u_n) converge vers 0.
3. 
a) Pour tout entier naturel k :
\frac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}} = \frac{\frac{3-\sqrt{3}i}{4}z_k-z_k}{\frac{3-\sqrt{3}i}{4}z_k}=\frac{\frac{3-\sqrt{3}i}{4}-1}{\frac{3-\sqrt{3}i}{4}}= \frac{\frac{3-\sqrt{3}i}{4}-\frac{4}{4}}{\frac{3-\sqrt{3}i}{4}}= \frac{\frac{-1-\sqrt{3}i}{4}}{\frac{3-\sqrt{3}i}{4}}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{3-\sqrt{3}i}
=\frac{(-1-\sqrt{3}i)\times (3+\sqrt{3}i)}{(3-\sqrt{3}i)\times (3+\sqrt{3}i)}=\frac{-3-\sqrt{3}i-3\sqrt{3}i+3}{3^2+(\sqrt{3})^2}=\frac{-4\sqrt{3}i}{12}=\frac{-\sqrt{3}i}{3}=\frac{-1}{\sqrt{3}}i.
On interprète géométriquement :
\frac{A_kA_{k+1}}{OA_{k+1}}=\left\vert \frac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}-0} \right\vert=\left\vert - \frac{1}{\sqrt{3}} i\right\vert=\frac{A_kA_{k+1}}{OA_{k+1}}= \frac{1}{\sqrt{3}}.
On en déduit que A_kA_{k+1}=\frac{1}{\sqrt{3}}OA_{k+1}.
b) Pour tout entier naturel n, on a l_n=A_0A_1 + A_1A_2 \ldots +A_{n-1}A_n.
On utilise la question précédente pour en déduire que :
l_n = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(OA1+OA_2+ \ldots +OA_n \right).
On remarque que pour tout entier naturel n, OA_n = \vert z_n\vert, or \vert z_n \vert = u_n = 8 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n, donc :
l_n = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \left(8 \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+8 \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\ldots +8 \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^n\right).
On reconnaît la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique :
l_n=\frac{1}{\sqrt{3}}\times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\times \left(\frac{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) = 4 \times \frac{1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}.
Lorsque n tend vers l'infini \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}, ln tend vers 0 ( car -1<\frac{\sqrt{3}}{2}<1).
On en déduit que la suite (l_n) converge vers \frac{4}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}= 16+8\sqrt{3}.