Sujet national, juin 2018, exercice 3


Énoncé

5 points
Le but de cet exercice est d'examiner, dans différents cas, si les hauteurs d'un tétraèdre sont concourantes, c'est-à-dire d'étudier l'existence d'un point d'intersection de ses quatre hauteurs.
On rappelle que dans un tétraèdre MNPQ, la hauteur issue de M est la droite passant par M orthogonale au plan (NPQ).
Partie A
Étude de cas particuliers
On considère un cube ABCDEFGH.
Sujet national, juin 2018, exercice 3 - illustration 1
On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées « grandes diagonales » du cube, sont concourantes.
1. On considère le tétraèdre ABCE.
a) Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.
Appliquer la définition de la hauteur issue d'un sommet dans un tétraèdre.
b) Les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE sont-elles concourantes ?
Étudier la coplanarité des hauteurs trouvées dans la question précédente.
2. On considère le tétraèdre ACHF et on travaille dans le repère \left (A;\overrightarrow{AB},\: \overrightarrow{AD},\: \overrightarrow{AE} \right )
a) Vérifier qu'une équation cartésienne du plan ACH est : x − y + z = 0.
Vérifier que les coordonnées de A, C et M (points non alignés) sont solutions de l'équation proposée.
b) En déduire que (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF.
Vérifier que le vecteur \overrightarrow{FD} est normal au plan (ACH).
c) Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues respectivement des sommets A, C et H.
Les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF sont-elles concourantes ?
Faire de même avec les autres faces de « ACHF », puis utiliser la propriété des « grandes diagonales ».
Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé un tétraèdre orthocentrique.
Partie B
Une propriété des tétraèdres orthocentriques
Dans cette partie, on considère un tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M et N sont sécantes en un point K. Les droites (MK) et (NK) sont donc orthogonales aux plans (NPQ) et (MPQ) respectivement.
Sujet national, juin 2018, exercice 3 - illustration 2
1. 
a) Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK) ; on admet de même que les droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.
b) Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite (PQ) et au plan (MNK) ? Justifier la réponse.
Utiliser la définition et la propriété d'une droite orthogonale à un plan.
2. Montrer que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales.
Ainsi, on obtient la propriété suivante :
Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
(On dit que deux arêtes d'un tétraèdre sont « opposées » lorsqu'elles n'ont pas de sommet commun.)
Utiliser le résultat de la question précédente.
Partie C
Application
Dans un repère orthonormé, on considère les points :
R (−3 ; 5 ; 2 ), S (1 ; 4 ; −2), T (4 ; −1 ; 5) et U (4 ; 7 ; 3).
Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.
On raisonne par contraposée : trouver deux arêtes non orthogonales et conclure.

Annexes

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