Sujet national, juin 2018, exercice 3

Énoncé

5 points
Le but de cet exercice est d'examiner, dans différents cas, si les hauteurs d'un tétraèdre sont concourantes, c'est-à-dire d'étudier l'existence d'un point d'intersection de ses quatre hauteurs.
On rappelle que dans un tétraèdre MNPQ, la hauteur issue de M est la droite passant par M orthogonale au plan (NPQ).
Partie A
Étude de cas particuliers
On considère un cube ABCDEFGH.
Sujet national, juin 2018, exercice 3 - illustration 1
On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées « grandes diagonales » du cube, sont concourantes.
1. On considère le tétraèdre ABCE.
a) Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.
Appliquer la définition de la hauteur issue d'un sommet dans un tétraèdre.
b) Les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE sont-elles concourantes ?
Étudier la coplanarité des hauteurs trouvées dans la question précédente.
2. On considère le tétraèdre ACHF et on travaille dans le repère \left (A;\overrightarrow{AB},\: \overrightarrow{AD},\: \overrightarrow{AE} \right )
a) Vérifier qu'une équation cartésienne du plan ACH est : x − y + z = 0.
Vérifier que les coordonnées de A, C et M (points non alignés) sont solutions de l'équation proposée.
b) En déduire que (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF.
Vérifier que le vecteur \overrightarrow{FD} est normal au plan (ACH).
c) Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues respectivement des sommets A, C et H.
Les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF sont-elles concourantes ?
Faire de même avec les autres faces de « ACHF », puis utiliser la propriété des « grandes diagonales ».
Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé un tétraèdre orthocentrique.
Partie B
Une propriété des tétraèdres orthocentriques
Dans cette partie, on considère un tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M et N sont sécantes en un point K. Les droites (MK) et (NK) sont donc orthogonales aux plans (NPQ) et (MPQ) respectivement.
Sujet national, juin 2018, exercice 3 - illustration 2
1. 
a) Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK) ; on admet de même que les droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.
b) Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite (PQ) et au plan (MNK) ? Justifier la réponse.
Utiliser la définition et la propriété d'une droite orthogonale à un plan.
2. Montrer que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales.
Ainsi, on obtient la propriété suivante :
Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
(On dit que deux arêtes d'un tétraèdre sont « opposées » lorsqu'elles n'ont pas de sommet commun.)
Utiliser le résultat de la question précédente.
Partie C
Application
Dans un repère orthonormé, on considère les points :
R (−3 ; 5 ; 2 ), S (1 ; 4 ; −2), T (4 ; −1 ; 5) et U (4 ; 7 ; 3).
Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.
On raisonne par contraposée : trouver deux arêtes non orthogonales et conclure.

Corrigé

Partie A
Étude de cas particuliers
On considère un cube ABCDEFGH.
1.  On considère le tétraèdre ABCE.
a)  La hauteur issue de E est la droite (AE), en effet (AE) est orthogonale au plan (ABC), car ABCDEFGH est un cube.
De même, la hauteur issue de C est la droite (CB).
b)  Les droites (AE) et (CB) ne sont pas coplanaires, les quatre hauteurs ne peuvent pas être concourantes.
2.  Dans le plan muni du repère \left (A;\overrightarrow{AB},\: \overrightarrow{AD},\: \overrightarrow{AE} \right ), on considère le tétraèdreACHF.
Sujet national, juin 2018, exercice 3 - illustration 3
a)  On vérifie que les coordonnées des points A (0 ; 0 ; ; 0), C (1 ; 1 ; 0) et H (0 ; 1 ; 1) vérifient l'équation x − yz = 0, et comme ces trois points ne sont pas alignés, alors : x − yz = 0 est une équation du plan (ACH).
b)  Un vecteur normal au plan (ACH) est \overrightarrow{n} (1 ; -1 ; 1), or F (1 ; 0 ; 1) et D (0 ; 1 ; 0) soit\overrightarrow{DF}(1 ; -1 ; 1). On en déduit que la droite (FD) est orthogonale au plan (ACH), ainsi (FD) est la hauteur du tétraèdre (ACHF) issue de F.
c)  Par analogie on a : (AG) est la hauteur issue de A dans le tétraèdre ACHF.
(CE) est la hauteur issue de C dans le tétraèdre ACHF.
(HB) est la hauteur issue de H dans le tétraèdre ACHF.
Ces quatres hauteurs sont les grandes diagonales du cube, qui, comme le rappelle l'énoncé, sont concourantes.
Partie B
Une propriété des tétraèdres orthocentriques
1. 
a)  La droite (MK) est orthogonale au plan (NPQ), elle est donc orthogonale à toute droite de ce plan, en particulier à la droite (PQ). Ainsi (MK) est orthogonale à (PQ).
b)  La droite (PQ) est orthogonale à deux droites sécantes (MK) et (NK) du plan (MNK), elle est donc orthogonale à ce plan. Ainsi (PQ) est orthogonale à (MNK).
2. La droite (PQ) est orthogonale au plan (MNK), qui contient la droite(MN). On en déduit que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales.
Partie C
Application

Dans un repère orthonormé, on considère les points :
R (−3 ; 5 ; 2), S (1 ; 4 ; −2), T (4 ; −1 ; 5) et U (4 ; 7 ; 3).
On sait que si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
Commençons par vérifier si les arêtes opposées du tétraèdre RSTU sont bien orthogonales deux à deux.
Comme on est dans un repère orthonormé, on peut utiliser le produit scalaire :
\left.\begin{matrix}\\\overrightarrow{RT}\\\:\end{matrix}\right| \begin{matrix}7\\-6\\3\end{matrix}\left.\begin{matrix}\: \\\cdot\: \overrightarrow{SU}\\\:\end{matrix}\right| \begin{matrix}3\\3\\5\end{matrix}= 21-18+15= 18\neq 0.
Les arêtes opposées [RT] et [SU] ne sont pas orthogonales, donc le tétraèdre RSTU n'est pas orthocentrique.