Sujet national, juin 2018, exercice 1

Énoncé

6 points
Dans cet exercice, on munit le plan d'un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous la courbe d'équation :
y= \frac{1}{2}\left ( e^{x}+e^{-x} -2\right ).
Cette courbe est appelée une « chaînette ».
On s'intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.
On définit la « largeur » et la « hauteur » de l'arc de chaînette délimité par les points M et M' comme indiqué sur le graphique.
Sujet national, juin 2018, exercice 1 - illustration 1
Le but de l'exercice est d'étudier les positions possibles sur la courbe du point M d'abscisse x strictement positive afin que la largeur de l'arc de chaînette soit égale à sa hauteur.
1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l'équation(E) :
e^{x}+e^{-x}-4x-2= 0.
Il faut exprimer en fonction de x la largeur et la hauteur et mettre en équation le problème posé.
2. On note f la fonction définie sur l'intervalle [0 +\infty [ par :
f\left ( x \right )= e^{x}+e^{-x}-4x-2.
a) Vérifier que pour tout x> 0,f\left ( x \right )= x\left ( \frac{e^{x}}{x}-4 \right )+e^{-x}-2.
Il faut réordonner les termes de la fonction et faire une factorisation partielle. On peut aussi développer l'expression donnée dans l'énoncé et retrouver l'expression de la fonction f.
b) Déterminer :
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left ( x \right ).
Il faut utiliser l'expression obtenue dans la question précédente et la limite du cours \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{\text{e}^x}{x}\right)=+\infty.
3. 
a)  On note f' la fonction dérivée de la fonction f. Calculer {f}'\left ( x \right ), où x appartient à l'intervalle [0 ; +\infty [.
On calcule la dérivée de f en utilisant l'expression initiale de f.
b)  Montrer que l'équation {f}'\left ( x \right )= 0 équivaut à l'équation : \left ( e^{x} \right )^{2}-4e^{x}-1= 0.
On pense à multiplier chaque membre par \text{e}^x ou on peut remarquer que \text{e}^{-x}=\frac{1}{\text{e}^{x}} et tout mettre sur le même dénominateur\text{e}^x.
c)  En posant X= e^{x}, montrer que l'équation {f}'\left ( x \right )= 0 admet pour unique solution réelle le nombre \mathrm{ln}\left ( 2+\sqrt{5} \right ).
Grâce au changement de variable, on obtient une équation du second degré. Attention, ici X= \text{e}^x donc X \ge 0. On calcule son discriminant, on vérifie l'appartenance des éventuelles solutions à l'intervalle \left[0 ; +\infty\right[, car X \ge 0.
4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée f' de f :
x
\mathrm{ln}\left ( 2+\sqrt{5} \right )+\infty
{f}'\left ( x \right )
− 0 +

a) Dresser le tableau de variation de la fonction f.
En utilisant le tableau de signes de la dérivée, on en déduit le tableau de variation de la fonction f.
b) Démontrer que l'équation f\left ( x \right )= 0 admet une unique solution strictement positive que l'on notera \alpha .
On utilise le théorème des valeurs intermédiaires (plus exactement son corollaire, cas strictement monotone pour une unique solution) sur l'intervalle \left[\ln{(2+\sqrt{5})};+\infty\right[.
5. On considère l'algorithme suivant où les variables a, b et m sont des nombres réels :
Tant que b-a \ge 0,1 faire :
m\leftarrow \frac{a+b}{2}
Si e^{m}+e^{-m}-4m-2 \ge 0, alors :
b\leftarrow m
Sinon :
a\leftarrow m
Fin Si
Fin Tant que

a) Avant l'exécution de cet algorithme, les variables a et b contiennent respectivement les valeurs 2 et 3. Que contiennent-elles à la fin de l'exécution de l'algorithme ? On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme.
Sujet national, juin 2018, exercice 1 - illustration 2
b) Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d'algorithme à la question précédente ?
L'objectif de cet algorithme est d'obtenir un encadrement de \alpha d'amplitude inférieure ou égale à 0,1. (Il s'agit de la classique méthode de dichotomie.)
6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l'allure ci-après. Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.
Sujet national, juin 2018, exercice 1 - illustration 3
La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement positive de l'équation :
\left ( {E}' \right ):e^{\frac{t}{39}}+e^{-\frac{t}{39}}-4\frac{t}{39}-2= 0.
Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.
Dans cette question, on a le contexte concret de toute l'étude de fonction il faut faire le lien avec ce qui précède et surtout avec l'encadrement de \alpha déterminé à l'aide de l'algorithme.
L'encadrement est valable pour \frac{t}{39}= \alpha, en déduire un encadrement pour t_0 solution strictement positive de l'équation (E'). Par la suite, on en déduit l'encadrement de 2\times t_0, qui est la hauteur et la largeur de l'arche.

Corrigé

1.  \textrm{Largeur} =x-(-x)=x+x=2x et \textrm{Hauteur}=f(x)=\frac{1}{2}(\text{e}^x+\text{e}^{-x}-2).
La largeur égale à la hauteur se traduit par :
\frac{1}{2} \left(\text{e}^x+\text{e}^{-x}-2\right) = 2x
\Leftrightarrow \text{e}^x+\text{e}^{-x}-2 = 2\times 2x
\Leftrightarrow \text{e}^x+\text{e}^{-x}-2 = 4x
\Leftrightarrow \text{e}^x+\text{e}^{-x}-4x-2 = 0.
2.  
a) Pour tout réel x \ge 0, on a :
f(x) = \text{e}^x+\text{e}^{-x}-4x-2
f(x) = \text{e}^x-4x+\text{e}^{-x}-2, donc :{f(x)= x\left(\frac{\text{e}^x}{x}-4\right)+\text{e}^{-x}-2}.
b) D'après le cours, on sait que : \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{\text{e}^x}{x}\right)=+\infty, donc \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{\text{e}^x}{x}-4\right)=+\infty.
Et par produit, on a \lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x\left(\frac{\text{e}^x}{x}-4\right)\right)=+\infty. De plus, \lim_{x\rightarrow +\infty}(\text{e}^{-x}-2)=-2.
Ainsi par somme : \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty.
3. 
a) Pour tout x \in [0 ; +\infty[, on a f'(x)= \text{e}^x-\text{e}^{-x}-4 (en utilisant (\text{e}^u)'=u'\text{e}^u avec u une fonction dérivable).
b) On a :
f'(x) = 0
\Leftrightarrow \text{e}^x-\text{e}^{-x}-4 = 0
\Leftrightarrow \text{e}^x-\frac{1}{\text{e}^{x}}-4 = 0
\Leftrightarrow \frac{\text{e}^x\times \text{e}^x-1-4\text{e}^x}{\text{e}^{x}} = 0
\Leftrightarrow \frac{\left(\text{e}^x\right)^2-4\text{e}^x-1}{\text{e}^{x}} = 0
\Leftrightarrow\left(\text{e}^x\right)^2-4\text{e}^x-1= 0.
c) En posant X= e^x, on obtient l'équation X^2-4X-1=0, avec X \ge 0.
On résout cette équation du second degré, qui admet deux solutions (ici une négative et une positive).
X_1=\frac{-(-4)+\sqrt{20}}{2\times1}=\frac{4+2\sqrt{5}}{2}=2+\sqrt{5} et X_2=\frac{-(-4)-\sqrt{20}}{2\times1}=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}=2-\sqrt{5}.
On exclut X_2, qui est négatif. On a donc seulement :
X_1=2+\sqrt{5}=e^{x} \,\Leftrightarrow \, x=\ln(2+\sqrt{5}) (en appliquant le logarithme népérien).
4. 
a) 
Sujet national, juin 2018, exercice 1 - illustration 4
Avec m=f\left(\ln\left(2+\sqrt{5}\right)\right) \approx -3,3.
b) 
Sur l'intervalle \left] 0 ;\ln\left(2+\sqrt{5}\right)\right], la fonction f est strictement négative, donc l'équation f(x)=0 n'admet pas de solution sur cet intervalle.
Sur l'intervalle \left[\ln\left(2+\sqrt{5}\right);+\infty\right[, la fonction f est strictement croissante, continue (car dérivable) et 0 \in ] m ;+\infty[ (en effet, m est négatif et\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty). Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution strictement positive notée :
\alpha \in \left[\ln\left(2+\sqrt{5}\right);+\infty\right[.
5. 
a) L'algorithme donne les valeurs suivantes :
m
a
b
b-a

2
3
1
2,5
2
2,5
0,5
2,25
2,25
2,5
0,25
2,375
2,375
2,5
0,125
2,4375
2,4375
2,5
0,0625

Arrêt de l'algorithme car 0,0625 \le 0,1, donc a=2,4375 \: \textrm{et} \: b=2,5.
b) f(2)\approx -2,48 et f(3)\approx 6,14, donc ce qui précède, 2 \le \alpha \le 3. Ce qui justifie le choix initial de a et de b. L'algorithme nous donne un encadrement de \alpha d'amplitude inférieure à 0,1 : 2,4275 \le \alpha \le 2,5.
6. D'après ce qui précède, la solution de l'équation (E') doit vérifier :
2,4275 \le \frac{t_0}{39} \le 2,5 \Leftrightarrow 95,0625 \le t_0 \le 97,5.
Or la hauteur de l'arche est le double de la solution strictement positive donc :
(h=2\times t_0)\: \textrm{donc}\: 190,125 \le h \le 195.
On peut conclure que la hauteur de Gateway Arch est comprise entre 190,125 m et 195 m.