Sujet national, juin 2017, exercice de spécialité

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On appelle « triangle rectangle presque isocèle », en abrégé TRPI, un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour longueurs x et x + 1, et dont l'hypoténuse a pour longueur y, où x et y sont des entiers naturels.
Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côtés de l'angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur de l'hypoténuse est un nombre entier.
Sujet national, juin 2017, exercice de spécialité - illustration 1
Si le triangle de côtés x, x + 1 et y, où y est la longueur de l'hypoténuse, est un TRPI, on dira que le couple (x ; y) définit un TRPI.
Partie A
1. Démontrer que le couple d'entiers naturels (x ; y) définit un TRPI si et seulement si on a :
y2 = 2x2 + 2x + 1.
Penser à l'égalité de Pythagore.
2. Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est défini par le couple (3 ; 5).
Faire un raisonnement par disjonction de cas.
3. 
a) Soit n un entier naturel. Montrer que si n2 est impair alors n est impair.
Démontrer la contraposée de la proposition.
b) Montrer que dans un couple d'entiers (x ; y) définissant un TRPI, le nombre y est nécessairement impair.
Mobiliser les résultats du A. 1. et le précédent le A. 3. a).
4. Montrer que si le couple d'entiers naturels (x ; y) définit un TRPI, alors x et y sont premiers entre eux.
Partie B
On note A la matrice carrée : A = \begin{pmatrix}3 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}, et B la matrice colonne : B=\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}.
Soient x et y deux entiers naturels ; on définit les entiers naturels x' et y' par la relation :
\begin{pmatrix}{x}'\\ {y}'\end{pmatrix}=\mathrm{A}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}+\mathrm{B}.
1. Exprimer x' et y' en fonction de x et y.
Effectuer les opérations matricielles demandées puis remplacer y' en fonction de y dans le membre de gauche de l'égalité recherchée.
2. 
a) Montrer que : {y}'^{2}-2{x}'({x}'+1)=y^{2}-2x(x+1).
b) En déduire que si le couple (x ; y) définit un TRPI, alors le couple (x' ; y') définit également un TRPI.
Utiliser les résultats des A. 1. et B. 1. pour montrer que (x' ; y') est TRPI puis pour démontrer l'hérédité de la démonstration par récurrence s'appuyer sur les résultats de B. 1. ainsi que le début de B. 2.
3. On considère les suites (x_{\mathrm{n}})_{\mathrm{n}\in\mathrm{N}} et (y_{\mathrm{n}})_{\mathrm{n}\in\mathrm{N}} d'entiers naturels, définies par x0 = 3, y0 = 5 et pour tout entier naturel n : \begin{pmatrix}x_{n+1}\\ y_{n+1}\end{pmatrix}=A\mathrm{}_{y_{n}}^{x_{n}}+\mathrm{B}.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, le couple (xn ; yn) définit un TRPI.
Utiliser la calculatrice pour déterminer le couple recherché.
4. Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI dont les longueurs des côtés sont supérieures à 2017.

Corrigé

Partie A
1.  Le triangle est TRPI si et seulement si les longueurs de ses côtés vérifient l'égalité de Pythagore c'est-à-dire si et seulement si : y2 x2 + (x + 1)2x2x2 + 2x + 1 = 2x2 + 2x + 1.
2. Faisons un raisonnement par disjonction de cas :
– si x = 1 alors y2 = 5, ce qui ne donne pas de solution entière ;
– si x = 2, y2 = 13, ce qui ne donne pas de solution entière.
Enfin si x = 3, y2 = 25, ce qui ne donne qu'une seule solution entière positive y = 5.
3. 
a) Si n est pair (par exemple n = 2k) alors n2 = 4k2 est également pair.
On vient de démontrer la contraposée de la proposition qui est donc ainsi établie.
b) On a, d'après le A. 1. y2 qui est impair. Or d'après la question précédente cela entraîne que y est aussi impair.
c) Si le couple d'entiers naturels (x ; y) définit un TRPI, alors on a y2 = 2x2 + 2x + 1.
Soit y × yx × (− 2x − 2) = 1.
D'après le théorème de Bézout l'égalité précédente prouve que x et y sont alors premiers entre eux.
Partie B
1. \begin{pmatrix}{x}'\\ {y}'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}.
Ce qui donne après calculs :
\left\{\begin{matrix}{x}'=3x+2y+1\\ {y}'=4x+3y+2\end{matrix}\right..
En en déduit donc que :
y'2 − 2x'(x' + 1) = (4x + 3y + 2)2 − 2(3x + 2y + 1)(3x + 2y + 1 + 1) = y2 − 2x(x + 1).
2. D'après la A. 1. Le triangle est TRPI si et seulement si y2 = 2x2 + 2x + 1.
Ce qui équivaut, en transposant les x du membre de droite vers le membre de gauche : y2 − 2x(x + 1) = 1.
Mais d'après la B. 1. y'2 − 2x'(x' + 1) = y2 − 2x(x + 1).
On en déduit donc que y'2 − 2x'(x' + 1) = 1 et que le couple (x' ; y') est bien TRPI.
Posons P(n) : le couple (xn ; yn) définit un TRPI.
Initialisation
P(0) est vraie car (x0 ; y0) définit un TRPI par hypothèse.
Hérédité
Supposons que P(n) est vrai pour un n fixé.
Puisque \begin{pmatrix}x_{n+1}\\ y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_{n}\\ y_{n}\end{pmatrix}+B, d'après le B. 1. et le début de B. 2. on en déduit que P(n + 1) est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont établies, le principe de récurrence nous permet d'affirmer que P(n) est vraie pour tout entier naturel n.
3. En utilisant la calculatrice on déduit que par exemple le couple (4059 ; 5741) convient.