Sujet national, juin 2017, exercice 4

Énoncé

5 points
On étudie un modèle de propagation d'un virus dans une population, semaine après semaine.
Chaque individu de la population peut être, à l'exclusion de toute autre possibilité :
• soit susceptible d'être atteint par le virus, on dira qu'il est « de type S » ;
• soit malade (atteint par le virus) ;
• soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).
Un individu est immunisé lorsqu'il a été vacciné, ou lorsqu'il a guéri après avoir été atteint par le virus.
Pour tout entier naturel n, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes :
• parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu'en semaine n + 1 :
85 % restent de type S, 5 % deviennent malades et 10 % deviennent immunisés ;
• parmi les individus malades en semaine n, on observe qu'en semaine n + 1 :
65 % restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés ;
• tout individu immunisé en semaine n reste immunisé en semaine n + 1.
On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les événements suivants :
Sm : « l'individu est de type S en semaine n » ;
Mm : « l'individu est malade en semaine n » ;
Im  : « l'individu est immunisé en semaine n ».
En semaine 0, tous les individus sont considérés « de type S », on a donc les probabilités suivantes :
P (S0)= 1, P (M0)= 0 et P (I0) = 0.
Partie A
On étudie l'évolution de l'épidémie au cours des semaines 1 et 2.
1. Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilités donné ci-après :
Sujet national, juin 2017, exercice 4 - illustration 1
Il suffit de bien lire l'énoncé et de remplir les cases manquantes de l'arbre.
2. Montrer que P (I2) = 0,2025.
Appliquer la formule des probabilités totales.
3. Sachant qu'un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu'il ait été malade en semaine 1 ?
Appliquer la formule des probabilités conditionnelles.
Partie B
On étudie dans cette partie l'évolution à long terme de l'épidémie.
Pour tout entier naturel n, on note unP (Sn), vnP(Mn) et wnP(In) les probabilités respectives des événements Sn, Mn et In.
1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un + vn + wn = 1.
On admet que la suite (vn) est définie par vn0 = 0 et, pour tout entier naturel n :
vn + 1 = 0,65vn + 0,05un.
Définir l'univers correspondant à cette expérience aléatoire.
2. À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes des suites (un), (vn) et (wn) :

A
B
C
D
1
n
un
vn
wn
2
0
1
0
0
3
1
0,8500
0,0500
0,1000
4
2
0,7225
0,0750
0,2025
5
3
0,6141
0,0849
0,3010
6
4
0,5220
0,0859
0,3921
7
5
0,4437
0,0819
0,4744
8
6
0,3771
0,0754
0,5474





20
18
0,0536
0,0133
0,9330
21
19
0,0456
0,0113
0,9431
22
20
0,0388
0,0096
0,9516

Pour répondre aux questions a) et b) suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus.
a) Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet, par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite (vn) ?
Lire attentivement le tableau pour savoir à quel calcul correspond la cellule C3.
b) On admet que les termes de (vn) augmentent, puis diminuent à partir d'un certain rang N, appelé le « pic épidémique » : c'est l'indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d'être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande. Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par le modèle.
Lire le tableur et regarder à quel endroit vn possède sa valeur maximale.
3. 
a) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un + 1 = 0,85un.
En déduire l'expression de um en fonction de n.
Établir un lien probabiliste entre un et un + 1.
Démontrer que la suite u est géométrique avant d'exprimer un en fonction de n.
b) Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a : \upsilon _{n} =\frac{1}{4}\left ( 0,85^{n}-0,6^{n} \right ).
Faire la récurrence demandée en utilisant à un moment donné l'expression de un en fonction de n de la question précédente.
4. Calculer les limites de chacune des trois suites (un), (vn) et (wn).
Que peut-on en déduire quant à l'évolution de l'épidémie prévue à long terme par ce modèle ?

Corrigé

Partie A
1. Utiliser le cours sur les limites des suites géométriques et utiliser le résultat du B. 1.
Sujet national, juin 2017, exercice 4 - illustration 2
2. D'après la formule des probabilités totales, on déduit que :
P ( I_{2} ) = P ( S_{1} \cap I_{2}) + P ( M_{1} \cap I_{2}) + P ( I_{1} \cap I_{2}).
Soit, en s'appuyant sur l'arbre :
P(I2) = 0, 85 × 0,1 + 0, 05 × 0, 35 + 0,1 × 1 = 0,2025.
3. La probabilité demandée correspond à P_{I_{2}}\left ( M_{1} \right ). Or, d'après la formule des probabilités conditionnelles, on déduit que :
P_{I_{2}}\left ( M_{1} \right ) = \frac{P\left ( M_{1}\cap I_{2} \right )}{I_{2}} = \frac{0,05 \times 0,35}{0,2025}, ce qui donne environ 0,086.
Partie B
1. Si on désigne par Ω l'univers correspondant à cette expérience aléatoire, alors :
\Omega = S_{n}\cup M_{n} \cup I_{n}.
Les événements Sn, Mn et In étant incompatibles, on en déduit que :
P(Ω) = P(Sn) + P(Mn) + P(In) = 1 soit un + vn + wn = 1.
2. 
a) La cellule C3 correspond au calcul de v1 qui se déduit de l'énoncé : v1 = 0,65v0 + 0,05u0 ; en conséquence on place dans la cellule C3 la formule :
0.65*C2 + 0.05*B2.
b) D'après le tableur de l'énoncé, la valeur maximale est observée à la sixième ligne et correspond à v4 = 0,0859.
3. 
a) u_{n+1} = P\left ( S_{n+1} \right ) = P_{S_{n}}\left ( S_{n+1} \right ) \times P\left ( S_{n} \right ) = 0,85u_{n}.
La suite u est donc géométrique de raison égale à 0,85 et de premier terme u0 = 1.
D'après le cours, on déduit donc que un = 0,85n.
b) Posons P(n) : v_{n} = \frac{1}{4}\left ( 0,85^{n} -0,65^{n}\right ).
Initialisation
P(0) est vraie car v_{0} = 0 = \frac{1}{4}\left ( 0,85^{0}-0,65^{0} \right ).
Hérédité
Supposons que P(n) est vrai pour un n fixé.
vn+1 = 0,65vn + 0,05un.
En injectant l'hypothèse de récurrence et le résultat précédent sur un, cela donne donc :
v_{n+1} = 0,65\frac{1}{4}\left ( 0,85^{n} - 0,65^{n} \right ) + 0,05 \times 0,85^{n}.
D'où v_{n+1} = 0,85^{n}\left ( \frac{0,65}{4} + 0,05 \right ) - \frac{1}{4}0,65^{n} = \frac{1}{4}\left ( 0,85^{n+1}-0,65^{n+1} \right ).
P(n + 1) est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont établies, le principe de récurrence nous permet d'affirmer que P(n) est vraie pour tout entier naturel n.
4. La suite u est une suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1 donc sa limite est nulle.
La limite de la suite v est également nulle car elle s'exprime comme soustraction de deux suites géométriques de raison comprise entre 0 et 1.
Enfin, puisqu'on a établi au B. 1. que unvnwn = 1, on en déduit que la limite de la suite w est égale à 1.
On peut en déduire qu'à terme tous les individus seront immunisés.