Sujet national, juin 2017, exercice 2

Énoncé

7 points
L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}).
Soit P le plan d'équation cartésienne : 2xz – 3 = 0.
On note A le point de coordonnées (1 ; a ; a2), où a est un nombre réel.
1. Justifier que, quelle que soit la valeur du réel a, le point A n'appartient pas au plan P.
Un point appartient à un plan si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de ce plan.
2. 
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite D (de paramètre noté t) passant par le point A et orthogonale au plan P.
Pour déterminer une représentation paramétrique de la droite D (de paramètre t) passant par le point A et orthogonale au plan P il suffit de connaître un vecteur directeur de cette droite puisqu'on sait déjà que la droite passe par A.
Or, la droite devant être orthogonale à P, un vecteur normal de P convient.
b) Soit M un point appartenant à la droite D, associé à la valeur t du paramètre dans la représentation paramétrique précédente. Exprimer la distance AM en fonction du réel t.
D'après le cours on sait que M N2 = (xM − xN)2 + (yM − yN)2 + (zM − zN)2.
Utiliser cette formule avec les points A et M.
On note H le point d'intersection du plan P et de la droite D orthogonale à P et passant par le point A. Le point H est appelé le projeté orthogonal du point A sur le plan P, et la distance AH est appelée distance du point A au plan P.
Sujet national, juin 2017, exercice 2 - illustration 1
3. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle la distance AH du point A de coordonnées (1 ; a ; a2) au plan P est minimale ? Justifier la réponse.
Le point H est le point d'intersection de D et de P, ses coordonnées doivent donc vérifier simultanément le système d'équations paramétriques de D et l'équation cartésienne de P.

Corrigé

1. Soit P le plan d'équation cartésienne : 2x − z − 3 = 0.
Pour montrer que A appartient à ce plan il suffit de montrer que ses coordonnées vérifient l'équation de ce plan.
Or, 2 − a2 − 3 = 0 si et seulement si a2 = − 1, ce qui est impossible pour un nombre réel a donné.
Donc, quelles que soient les valeurs de a, A ne peut pas appartenir au plan P.
2.  
a) Pour déterminer une représentation paramétrique de la droite D (de paramètre t) passant par le point A et orthogonale au plan P, il suffit de connaître un vecteur directeur de cette droite puisqu'on sait déjà que la droite passe par A.
Or, la droite devant être orthogonale à P, un vecteur normal de P convient.
Appelons \vec{n} ce vecteur.
Puisque l'équation cartésienne de P est l'équation : 2x − z − 3 = 0, on en déduit que \overrightarrow{n} \left ( \begin{matrix}2\\ 0\\ -1\end{matrix} \right ).
On obtient alors le système d'équations paramétriques de la droite D :
\left\{\begin{array}{l}x = 1 +2t\\ y = a\\ z = -t+a^{2}\end{array}\right..
b) D'après le cours, on sait que AM2 = (xM − xA)2 + (yM − yA)2 + (zM − zA)2.
Par suite, AM^{2} = 4t^{2} + t^{2} = 5t^{2} \mathrm {et} AM = \begin{vmatrix}t\end{vmatrix}\sqrt{5}.
3. Puisque le point H est le point d'intersection de D et de P, ses coordonnées doivent vérifier le système d'équations paramétriques de D et l'équation cartésienne de P.
En remplaçant dans l'équation cartésienne de P, x par 1 + 2t, y par a et z par − t + a2, on obtient :
2 + 4t − a2t − 3 = 0, ce qui donne t = \frac{1 +a^{2}}{5}.
D'après le 2. b), on déduit que AH = \frac{\left ( 1+a^{2} \right )\sqrt{5}}{5}.
Cette valeur est minimale pour a = 0 puisque la fonction carrée admet son minimum en 0.