Sujet national, juin 2017, exercice 1

Énoncé

7 points
Partie A
On considère la fonction h définie sur l'intervalle [0 ; +\infty[ par : h(x)= xe^{-x}.
1. Déterminer la limite de la fonction h en +\infty.
Transformer l'expression de la fonction pour faire apparaître l'inverse d'une limite usuelle.
2. Étudier les variations de la fonction h sur l'intervalle [0; +\infty[ et dresser son tableau de variations.
Utiliser la formule donnant la dérivée d'un quotient de deux fonctions, puis étudier la signe de la fonction dérivée obtenue.
3. L'objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction h.
a) Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0; +\infty[, on a :
h(x)= e^{-x}-{h}'(x)h' désigne la fonction dérivée de h.
Il suffit d'ajouter à h(x) la quantité {h}'(x) précédemment calculée et vérifier que cela donne bien e^{-x}.
b) Déterminer une primitive sur l'intervalle [0; +\infty[ de la fonction x \mapsto e^{-x}.
Étant donnée une fonction u, on doit ici utiliser la formule nous disant qu'un primitive d'une fonction de la forme {u}'e^{u} est eu.
c) Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction h sur l'intervalle [0; +\infty[.
Utiliser les résultats des 3. a. et 3. b. ainsi que les faits que d'une part une primitive de {h}' est f et d'autre part, la primitive d'une somme est égale à la somme des primitives.
Partie B
On définit les fonctions f et g sur l'intervalle [0; +\infty[ par :
f(x)= xe^{-x}+ln(x+1) et g(x)= ln(x+1).
On note Cf et Cg les représentations graphiques respectives des fonctions f et g dans un repère orthonormé.
Sujet national, juin 2017, exercice 1 - illustration 1
1. Pour un nombre réel x appartenant à l'intervalle [0; +\infty[, on appelle M le point de coordonnées (x;f(x)) et N le point de coordonnées (x;g(x)) : M et N sont donc les points d'abscisse x appartenant respectivement aux courbes Cf et Cg.
a) Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance MN est maximale et donner cette distance maximale.
Penser à considérer MN2 puis le tableau de variation de h établi au A. 2.
b) Placer sur le graphique fourni les points M et N correspondant à la valeur maximale de MN.
Il suffit de placer le point M d'abscisse 1, appartenant à Cf et le point N d'abscisse 1, appartenant à Cg.
2. Soit λ un réel appartenant à l'intervalle [0; +\infty[. On note D_{\lambda } le domaine du plan délimité par les courbes Cg et Cf et par les droites d'équations x = 0 et x = λ.
a) Hachurer le domaine D_{\lambda } correspondant à la valeur λ proposée sur le graphique fourni.
Il faut hachurer le domaine compris entre les courbes Cf et Cg ainsi que les droites verticales d'équations respectives x= 0 et x= \lambda.
b) On note A_{\lambda } l'aire du domaine D_{\lambda }, exprimée en unités d'aire. Démontrer que :
A_{\lambda } = 1 - \frac{\lambda +1}{e^{\lambda }}.
c) Calculer la limite de A_{\lambda } lorsque λ tend vers +\infty et interpréter le résultat.
D'après le cours on sait que l'aire d'un domaine défini par : a\leq x\leq b et g(x)\leq y\leq f(x) est A= \int_{a}^{b}\left ( f(x)-g(x) \right )dx.
S'appuyer ensuite sur A. 3. c. puis sur le fait que \int_{a}^{b}f(x)dx= F(b)-F(a), si F est une primitive de f.
3. On considère l'algorithme suivant :
Variables
λ est un réel positif
S est un réel strictement compris entre 0 et 1.
Initialisation
Saisir S
λ prend la valeur 0
Traitement
Tant Que 1 - \frac{\lambda +1}{e^{\lambda }}. < S faire
λ prend la valeur λ + 1
Fin Tant Que
Sortie
Afficher λ
a) Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur S = 0,8 ?
On remplace successivement λ par 1, 2, 3, etc. dès que 1-\frac{1+\lambda }{e^{\lambda }}> 0,8. On s'arrête et on note la valeur de λ pour laquelle ceci s'est réalisé.
b) Quel est le rôle de cet algorithme ?
D'après le B. 3. a. la valeur de λ trouvée est la plus petite valeur trouvée pour laquelle A_{\lambda } vérifiera une certaine inégalité.

Corrigé

Partie A
1.  h(x)= xe^{-x}= \frac{x}{e^{x}}.
Or, d'après le cours, \lim_{x \to +\infty }\frac{e^{x}}{x}= +\infty.
Donc, \lim_{x \to +\infty }h(x)= 0.
2.  Pour h(x) on va prendre la forme \frac{x}{e^{x}} plus facile à dériver et surtout pour étudier le signe.
h est dérivable sur \mathbb{R} tout entier en tant que quotient de fonctions dérivables sur \mathbb{R} donc a fortiori sur [0;+\infty[.
D'après le cours, nous savons que la dérivée du quotient de deux fonctions u par v est \frac{{u}'v-u{v}'}{v^{2}}.
Ici, on pose u(v)= x, donc {u}'(x)= 1, et v(x)= e^{x}, donc {v}'(x)= e^{x}.
Puisque v^{2}(x)> 0, le signe de h' est celui du numérateur :
N(x)= {u}'(x)v(x)-u(x){v}'(x)= e^{x}-xe^{x}= e^{x}(1-x).
e^{x}> 0 pour tout x réel, donc le signe de {h}' est celui de 1 − x, c'est-à-dire positif si x< 1 et négatif si x> 1.
Puisque h(0)= 0\times 1= 0 et h(1)= e^{-1}, on en déduit le tableau de variation de h :
Sujet national, juin 2017, exercice 1 - illustration 2
3. 
a)  h(x)+{h}'(x)= \frac{x}{e^{x}}+\frac{e_{x}(1-x)}{e^{2x}}= \frac{x}{e^{x}}+\frac{1-x)}{e^{x}}= e^{-x}.
On a donc bien, comme attendu, h(x)= e^{-x}-{h}'(x).
b)  Soit u(x) = -x, puisque {u}'(x) = -1, alors e^{-x} = -{u}'(x)e^{u(x)} et une primitive de {u}'e^{u} étant eu, on obtient qu'une primitive de e^{-x} est la fonction F telle que F(x)= -e^{-x}.
c)  D'après le 3. a. h(x) + {h}'(x)= e^{-x} et en tenant compte du 3. b), si on désigne par H une primitive de h, alors :
H(x)= -e^{-x}-h(x)= -e^{-x}-xe^{-x}= \left ( -1-x \right )e^{-x}.
Partie B
1. 
a)  Par définition de la distance entre deux points :
MN^{2}= \left ( x_{M}-x_{N} \right )^{2}+\left ( y_{M}-y_{N} \right )^{2}= \left ( x-x \right )^{2}+\left ( f(x)-g(x) \right )^{2}= h^{2}(x).
D'après le tableau de variation de h établi au A. 2. on déduit que h> 0 sur l'intervalle [0; \infty [, donc MN = h et MN est maximale pour x = 1 et la distance maximale calculée au A. 2. vaut e^{-1}.
b)  Pour placer le point M d'abscisse 1, on trace la droite perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par le point A\left (1; 0 \right ), elle recoupe Cf en M.
Pour placer le point N d'abscisse 1, on trace la droite perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par le point A\left (1; 0 \right ), elle recoupe Cg en N. Voir graphique.
2. a) 
Sujet national, juin 2017, exercice 1 - illustration 3
b) D'après le cours, on sait que l'aire d'un domaine défini par : a\leq x\leq b et g(x)\leq y\leq f(x) est A= \int_{a}^{b}\left ( f(x) - g(x) \right )dx.
Ce qui donne ici : A_{\lambda }= \int_{0}^{\lambda }\left ( f(x) - g(x) \right )dx= \int_{0}^{\lambda }h(x)dx.
Or, d'après le A. 3. c. on sait qu'une primitive H de h est définie par :
H(x)= \left ( -1-x \right )e^{-x}.
Donc, A_{\lambda }= H(\lambda )-H\left (0 \right )= \left ( -1- \lambda \right )e^{-\lambda }-\left ( -1 \right )= 1-\frac{1+\lambda }{e^{\lambda }}.
c)  On a vu au A. 1. que \lim_{\lambda \to +\infty }\frac{\lambda }{e^{\lambda }}= 0.
Par ailleurs, \lim_{\lambda \to +\infty }\frac{1 }{e^{\lambda }}= 0, donc finalement :
\lim_{\lambda \to +\infty }A_{\lambda }= 1.
Cela signifie que lorsque λ est très grand, l'aire sera proche de l'unité.
3. 
a) A3 est environ égal à 0,8008 alors que A2 est environ égal à 0,6, donc on obtient \lambda = 3.
b)  Cet algorithme permet de calculer la plus petite valeur de λ pour laquelle A_{\lambda } est supérieure à un nombre S fixé, entre 0 et 1.