Sujet national, juin 2016, exercice de spécialité

Énoncé

5 points
Pour tout couple d'entiers relatifs non nuls (a,b), on note pgcd (a,b) le plus grand diviseur commun de a et b. Le plan est muni d'un repère (O;\vec{i},\vec{j}).
1. Exemple : soit \Delta _{1} la droite d'équation y=\frac{5}{4}x-\frac{2}{3}.
a) Montrer que si (x,y) est un couple d'entiers relatifs, alors l'entier 15x − 12y est divisible par 3.
Mettre 15x −12y sous la forme d'un produit de deux facteurs dont l'un est multiple de 3.
b) Existe-t-il au moins un point de la droite \Delta _{1} dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.
Généralisation
On considère désormais une droite \Delta d'équation (\mathrm{E}):y=\frac{m}{n} x-\frac{p}{q}m, n, p et q sont des entiers relatifs non nuls tels que \mathrm{pgcd}(m,n)=\mathrm{pgcd}(p,q)=1.
Ainsi, les coefficients de l'équation (\mathrm{E}) sont des fractions irréductibles et on dit que \Delta est une droite rationnelle.
Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et q pour qu'une droite rationnelle \Delta comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.
Utiliser le résultat du 1. a) pour arriver à une contradiction et prouver, grâce au raisonnement par l'absurde, qu'il n'existe aucun point à coordonnées entières appartenant à \Delta _{1}.
2. On suppose ici que la droite \Delta comporte un point de coordonnées (x_{0},y_{0})x_{0} et y_{0} sont des entiers relatifs.
a) En remarquant que le nombre ny0 − mx0 est un entier relatif, démontrer que q divise le produit np.
Pour montrer que le nombre ny0 − mx0 est un entier relatif, il suffit de considérer la nature des nombres qui le constituent.
Pour démontrer que q divise le produit np, il suffit de mettre en œuvre un raisonnement analogue à celui utilisé au 1. a) et 1. b).
b) En déduire que q divise n.
D'après les données de l'énoncé, p et q sont premiers entre eux ; utiliser alors le résultat du 2. a) et le théorème de Gauss pour conclure.
3. Réciproquement, on suppose que q divise n, et on souhaite trouver un couple (x0, y0) d'entiers relatifs tels que y_{0}=\frac{m}{n}x_{0}-\frac{p}{q}.
a) On pose n = qr, où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu'on peut trouver deux entiers relatifs u et v tels que qru − mv = 1.
Utiliser le fait, donné dans l'énoncé, que les entiers n et m sont premiers entre eux.
b) En déduire qu'il existe un couple (x0, y0) d'entiers relatifs tels que y_{0}=\frac{m}{n}x_{0}-\frac{p}{q}.
Trouver une égalité équivalente à y_{0}=\frac{m}{n}x_{0}-\frac{p}{q} , mais sans dénominateur, puis utiliser le résultat de la question précédente.
4. Soit \Delta la droite d'équation y=\frac{3}{8}x-\frac{7}{4}. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.
Vérifier si toutes les conditions développées aux questions précédentes sont bien remplies et conclure.
5. On donne l'algorithme suivant :
Variables : M, N, P, Q : entiers relatifs non nuls, tels que pgcd(M,N) = pgcd (P,Q) = 1
X : entier naturel
Entrées : saisir les valeurs de M, N, P, Q
Traitement et sorties
Si Q divise N alors
X prend la valeur 0
Tant que (\frac{M}{N}X+\frac{P}{Q} n'est pas entier) et (-\frac{M}{N}X+\frac{P}{Q} n'est pas entier) faire
X prend la valeur X+1
Fin tant que
Si \frac{M}{N}X+\frac{P}{Q} est entier alors
Afficher X,\frac{M}{N}X+\frac{P}{Q}
Sinon
Afficher -X,-\frac{M}{N}X+\frac{P}{Q}
Fin Si
Sinon
Afficher "Pas de solution"
Fin Si
a) Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M, N, P, Q, entiers relatifs non nuls tels que pgcd(M,N) = pgcd(P,Q) = 1.
La justification découle des questions précédentes.
b) Que permet-il d'obtenir ?
Soit certaines conditions ne sont pas remplies et il n'y a pas de solution, soit certaines conditions sont remplies et il y a une solution, alors l'algorithme nous donnera un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Corrigé

1. 
a) 15x − 12y = 3 × (5x − 4y).
Puisque 15x − 12y est de la forme 3k avec k = 5x − 4y entier vu que x et y le sont, 15x − 12y est bien divisible par 3.
b) Si un point M(x;y)\in \Delta _{1} alors on a y=\frac{5x}{4}-\frac{2}{3}.
Ce qui équivaut à 15x − 12y = 8.
Or, on a montré au 1. a. que 15x − 12y est divisible par 3, ce qui entraînerait que 3 divise 8, ce qui est impossible ; il n'existe donc aucun point à coordonnées entières appartenant à \Delta _{1}.
2. 
a) Puisque n, y0, m et x0 sont des entiers, ny0 − mx0 aussi.
Puisque M_{0}(x_{0},y_{0})\in \Delta, on en déduit que y_{0}=\frac{m}{n}x_{0}-\frac{p}{q}. Soit en multipliant chacun des membres de cette dernière équation par le produit qn, on obtient :
qny0 = qmx0 − pn, d'où q(ny0 − mx0) = pn, ce qui prouve que q divise pn.
b) D'après les données de l'énoncé, p et q sont premiers entre eux, or d'après le résultat du 2. a) q divise pn. Il suffit donc d'appliquer le théorème de Gauss pour en déduire que q divise n.
3. 
a) D'après les données de l'énoncé, on sait que les entiers n et m sont premiers entre eux, il existe donc, d'après le théorème de Bézout, deux entiers a et b tels que anbm = 1. Soit en remplaçant n par qr  : aqrbm = 1, et en posant u = a et v = −b, on obtient l'égalité recherchée :
qru − vm = 1.
b)  y_{0}=\frac{m}{n}x_{0}-\frac{p}{q} est équivalente, en multipliant par n de part et d'autre, à ny_{0}=mx_{0}-\frac{np}{q}, où en remplaçant n par qr  :
qry0 = mx0 − pr, ce qui donne finalement l'égalité, qry0 − mx0 = −pr(1).
Or, on sait d'après le 3. a. qu'il existe deux entiers u et v tels que qru-vm=1, soit en multipliant de part et d'autre par −pr : −pqr2uprvm = −pr et par identification avec l'égalité (1), on en déduit que y0 = −pru et x0 = −prv.
4. L'équation de la droite donnée dans l'énoncé du 4. est de la forme y=\frac{m}{n}x-\frac{p}{q},
avec m = 3, n = 8, p = 7 et q = 4.
Toutes les conditions développées aux questions précédentes sont remplies : m et n ainsi que p et q sont bien premiers entre eux, et q = 4 divise n = 8, et donc d'après les réponses précédentes on peut affirmer que cette droite possède un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
5. 
a) Dans l'algorithme, si Q ne divise pas N, il affiche « pas de solution » , ce qui est conforme à l'étude faite auparavant. Si par contre, Q divise N, l'algorithme calcule \frac{M}{N}x-\frac{P}{Q}.
Il s'agit de l'équation de la droite \Delta. Ce calcul s'effectue tant que le nombre obtenu n'est pas entier.
L'algorithme se termine donc, car on sait que sous les conditions imposées, la droite \Delta possède au moins un point à coordonnées entières d'après les questions précédentes.
b) Dans le cas où Q divise N, l'algorithme va alors afficher les coordonnées d'un point de \Delta qui sont des entiers relatifs.
Dans le cas contraire, il affiche qu'il n'y a pas de solution.