Sujet national, juin 2016, exercice 4

Énoncé

5 points
Lors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l'extérieur du segment [AB].
La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n'importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.
Sujet national, juin 2016, exercice 4 - illustration 1
Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l'angle \widehat{ATB} le plus grand possible.
Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l'angle \widehat{ATB} est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.
Dans toute la suite, on note x la longueur ET, qu'on cherche à déterminer.
Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m, EA = 25 m et AB = 5,6 m. On note α la mesure en radian de l'angle \widehat{ETA}, β la mesure en radian de l'angle \widehat{ETB} et γ la mesure en radian de l'angle \widehat{ATB}.
1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan α et tan β en fonction de x.
La fonction tangente est définie sur l'intervalle \left ] 0;\frac{\pi }{2} \right [ par tan x=\frac{\mathrm{sin\mathit{x}}}{\mathrm{cos\mathit{x}}}.
Appliquer les formules de calcul de tangente vues en 3e dans un triangle rectangle.
2. Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle \left ] 0;\frac{\pi }{2} \right [.
Utiliser la formule donnant la dérivée d'un quotient : \left ( \frac{u}{v} \right ){}'=\frac{{u}'v-uv{}'}{v^{2}}.
3. L'angle \widehat{ATB} admet une mesure γ appartenant à l'intervalle \left ] 0;\frac{\pi }{2} \right [, résultat admis ici, que l'on peut observer sur la figure.
On admet que, pour tous réels a et b de l'intervalle \left ] 0;\frac{\pi }{2} \right [, \mathrm{tan(\mathit{a-b})}=\frac{\mathrm{tan}\mathit{a}-\mathrm{tan\mathit{b}}}{1+\mathrm{tan\mathit{a\times \mathrm{tan\mathit{b}}}}}.
Montrer que tan \gamma =\frac{5,6x}{x^{2}+765}.
Remarquer que \gamma =\beta -\alpha, puis appliquer la formule de la tangente de la différence donnée dans l'énoncé en utilisant les résultats obtenus à la question  1.
4. L'angle \widehat{ATB} est maximum lorsque sa mesure γ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l'intervalle ]0;50] de la fonction f définie par : f(x)=x+\frac{765}{x}.
Montrer qu'il existe une unique valeur de x pour laquelle l'angle \widehat{ATB} est maximum et déterminer cette valeur de x au mètre près ainsi qu'une mesure de l'angle \widehat{ATB} à 0,01 radian près.
Établir une relation entre tan(\gamma ) et f(x), puis étudier f.

Corrigé

1. Le triangle ETA est rectangle en E, on peut donc y appliquer la formule la tangente et on obtient :
tan(\alpha )=\frac{EA}{ET}=\frac{25}{x}.
Le triangle ETB est rectangle en E, on peut donc y appliquer la formule la tangente et on obtient :
tan(\beta )=\frac{EB}{ET}=\frac{30,6}{x}.
2. La fonction tangente est définie, continue et dérivable sur l'intervalle ]0; \frac{\pi }{2}[, on peut donc appliquer la formule de la dérivée d'un quotient : \left ( \frac{u}{v} \right ){}'=\frac{u{}'v-uv{}'}{v^{2}}, et on obtient :
\left ( \frac{sin(x)}{cos(x)} \right )=\frac{cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}=\frac{1}{cos^{2}(x)}> 0.
La fonction tangente est donc strictement croissante sur l'intervalle ]0; \frac{\pi }{2}[.
3. Puisque \gamma =\beta -\alpha on peut appliquer la formule de la tangente de la différence donnée dans l'énoncé et utiliser les résultats obtenus à la question  1.
On obtient alors :
\mathrm{tan}(\gamma )=\textrm{tan}(\beta -\alpha )=\frac{\mathrm{tan}(\beta )-\textrm{tan}(\alpha )}{1+\mathrm{tan}(\beta )\times \mathrm{tan}(\alpha )}=\frac{\frac{30,6}{x}-\frac{25}{x}}{1+\frac{25}{x}\times \frac{30,6}{x}}=\frac{5,6x}{x^{2}+765}.
4.  f(x)=x+\frac{765}{x}=\frac{x^{2}+765}{x}, d'où \mathrm{tan}(\gamma )=\frac{5,6}{f(x)} et un minimum de f correspond donc à un maximum pour \mathrm{tan}(\gamma ) et finalement à une valeur maximale de γ puisqu'on a établi au 2. que la fonction tangente est strictement croissante.
f{}'(x)=1-\frac{765}{x^{2}} et puisqu'on étudie f sur l'intervalle ]0; 50[, x> 0 et f{}'(x)> 0 lorsque 1> \frac{765}{x^{2}} soit x^{2}> 765 et x> \sqrt{765}=a.
La fonction f, décroissante sur ]0; a] et croissante sur \left [ a; 50 \right ] admet donc un minimum pour a.
Or a=\sqrt{765} donc \widehat{ATB} est maximum pour x environ égal à 28 m, au mètre près.
Dans ce cas, \mathrm{tan}(\gamma )=\frac{5,6\times \sqrt{765}}{765+765}\simeq 0,0018 et une mesure de l'angle \widehat{ATB} à 0,01 radian près est donc égale à 0,10 rad.