Sujet national, juin 2016, exercice 3

Énoncé

5 points
Partie A
Soit f la fonction définie sur Ensemble R par f(x)= x − ln(x2+ 1).
1. Résoudre dans Ensemble R l'équation : f(x)= x.
Il s'agit d'une équation avec logarithme : vous devez isoler l'expression logarithmique pour mettre l'équation sous la forme ln(a) = b, puis appliquer l'exponentielle à chaque membre de la précédente équation. Vous obtenez : a = eb et une équation « traditionnelle », sans logarithme. Il est aussi possible de mettre l'équation sous la forme ln(u) =  ln (v) puis de se « débarrasser des logarithmes » (ce qui revient à appliquer l'exponentielle).
2. Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous à l'exception de la limite de la fonction f en +\infty que l'on admet.
Sujet national, juin 2016, exercice 3 - illustration 1
Prouvez que la limite de f en -\infty est égale à -\infty, que la dérivée f{}'> 0, sauf en 1, où la dérivée f{}' de f s'annule.
3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à [0;1], f(x) appartient à [0;1].
Utilisez le fait que la fonction f est strictement croissante et appliquez la définition de la croissance d'une fonction vue en seconde.
4. On considère l'algorithme suivant :
Variables
N et A des entiers naturels
Entrée
Saisir la valeur de A
Traitement
N prend la valeur 0
Tant que N−ln(N2 + 1) < A
N prend la valeur N+1
Fin tant que
Sortie
Afficher N

a) Que fait cet algorithme ?
Pensez aux exercices d'algorithme de boucles vus en classe.
b) Déterminer la valeur N fournie par l'algorithme lorsque la valeur saisie pour A est 100.
Pour répondre à cette question, soit on programme sa calculatrice à l'aide de l'algorithme donné, soit on rentre f dans la calculatrice puis on fait un tableau de valeurs de pas égal à 1, commençant à n=1 et on obtient un tableau de valeurs dont la lecture permettra de déduire la valeur de n recherchée.
Partie B
Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}= u_{n}-\mathrm{ln}\left ( u_{n}^{2} +1\right ).
1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, (un) appartient à [0 ; 1].
Faites une démonstration par récurrence et utilisez le résultat du A. 3.
2. Étudier les variations de la suite (un).
Étudiez le signe de u_{n+1}-u_{n}.
3. Montrer que la suite (un) est convergente.
Appliquez le théorème de convergence des suites.
4. On note l sa limite, et on admet que l vérifie l'égalité f(l) = l.
En déduire la valeur de l.
Il faut résoudre l'équation f(l) = l en utilisant le résultat du A. 1.

Corrigé

Partie A
1.  f(x)=x-\mathrm{ln}(x^{2}+1) donc l'équation f(x)= x est équivalente à x-\mathrm{ln}(x^{2}+1)=x soit \mathrm{ln}(x^{2}+1)=0=\mathrm{ln}(1), d'où x2 =  0 et finalement x = 0.
S=\left \{ 0 \right \}.
2. En -\infty , x^{2}+1 tend vers +\infty, ainsi que \mathrm{ln}(x^{2}+1), donc par passage à l'opposé, -\mathrm{ln}(x^{2}+1) tend vers -\infty, ainsi que x.
Donc, finalement, la limite de f en -\infty, est bien comme prévu -\infty.
f(x)=x-\mathrm{ln}(x^{2}+1) donc {f}'(x)=1-\frac{2x}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}+1}=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}+1}.
Si x = 1, f{}'(x)=0 et sinon, puisque (x − 1)2 et x2 sont des carrés non nuls, f{}'(x)> 0.
3. Puisque f est strictement croissante sur \left [ 0;1 \right ], 0\leq x\leq 1 entraîne f(0)\leq f(x)\leq f(1).
Or, f(0)=0 et f(1)=1-\mathrm{ln}(2)< 1 donc pour tout réel x appartenant à [0 ; 1], f(x) appartient à [0 ; 1].
4. 
a) Cet algorithme permet de donner la plus petite valeur de n pour laquelle f(n) est supérieure à une valeur donnée A.
b) Puisque f(109)< 100 et f(110)> 100,n = 100 est la valeur de n recherchée.
Partie B
1. Démontrons par récurrence la propriété P(n):u_{n}\in \left [ 0;1 \right ].
P(0) est vraie puisque u_{0}=1\in \left [ 0;1 \right ].
Supposons que u_{n}\in \left [ 0;1 \right ], alors, d'après le résultat du A. 3., u_{n+1}=f(u_{n})\in \left [ 0;1 \right ].
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont établies, le principe de récurrence nous permet d'affirmer que P(n) est vraie pour tout entier naturel n.
2.  u_{n+1}-u_{n}=-\mathrm{ln}(u_{n}^{2}+1).
Or, u_{n}^{2}\geq 0, u_{n}^{2}+1\geq 1, \mathrm{ln}(u_{n}^{2}+1)\geq 0 et -\mathrm{ln}(u_{n}^{2}+1)\leq 0.
Par conséquent, u_{n+1}-u_{n}\leq 0. La suite un est donc décroissante.
3. D'après le théorème de convergence des suites, puisque un est décroissante et minorée par 0, elle est convergente.
4. On a vu au A. 1. que la seule solution à l'équation f(x) = x et x = 0 donc on a ici l = 0.