Sujet national, juin 2016, exercice 2

Énoncé

4 points
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (\mathrm{O};\vec{i },\vec{j},\vec{k}) on donne les points :
A(1, 2, 3), B(3, 0, 1), C(−1, 0, 1), D(2, 1, −1), E(−1, −2, 3) et F(−2, −3, 4).
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Affirmation 1 : les trois points A, B, et C sont alignés.
Affirmation 2 : le vecteur \vec{n}(0, 1, −1) est un vecteur normal au plan (ABC).
Affirmation 3 : la droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d'intersection est le milieu du segment [BC].
Affirmation 4 : les droites (AB) et (CD) sont sécantes.

Corrigé

Affirmation 1. FAUSSE.
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ -2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -2\\ -2\\ -2 \end{pmatrix}, ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisque leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
Affirmation 2. VRAIE.
Puisque les trois points A, B et C ne sont pas alignés, ils constituent un plan (ABC).
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}= 0, le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal à \overrightarrow{AB} et à \overrightarrow{AC}, c'est donc un vecteur normal du plan (ABC).
Affirmation 3. VRAIE.
Puisque \overrightarrow{n} est un vecteur normal de (ABC), l'équation cartésienne de (ABC) est : y − z + d = 0.
Pour déduire la valeur de d, on considère que A par exemple appartient à (ABC) d'où : 2 − 3 + d = 0 soit d  = 1 et on a :
(ABC) : y − z + 1 = 0.
Pour la droite (EF) on prend E pour point de référence et puisque \overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}, on obtient le système d'équations paramétriques de la droite (EF) :
\left\{\begin{matrix} x= -1-a\\ y= -2-a\\ z= 3+a \end{matrix}\right..
Le paramètre a, correspondant au point d'intersection K de (EF) et de (ABC), doit vérifier l'équation suivante :
−2 −  a −  3 −  a + 1 = 0, soit a  = −2 et K(1; 0; 1). Soit I le milieu de [BC], I(1; 0; 1), K  =  I.
Affirmation 4. FAUSSE.
Pour la droite (AB) on prend A pour point de référence et puisque \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ -2 \end{pmatrix}, on obtient le système d'équations paramétriques de la droite (AB) :
\left\{\begin{matrix} x= 1+2a\\ y= 2-2a\\ z= 3-2a \end{matrix}\right..
Pour la droite (CD) on prend C pour point de référence et puisque \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 3\\ 1\\ -2 \end{pmatrix}, on obtient le système d'équations paramétriques de la droite (AB) :
\left\{\begin{matrix} x= -1+3b\\ y=b\\ z= 1-2b \end{matrix}\right..
Pour trouver l'intersection (ou l'absence d'intersection) des deux droites on doit résoudre le système suivant :
\left\{\begin{matrix} 1+2a= -1+3b\\ 2-2a= b\\ 3-2a= 1-2b \end{matrix}\right..
La résolution des deux premières équations donne b  = 1 et a= \frac{1}{2}. On remplace dans la dernière équation : ce qui donne 2 = −1, ce qui est impossible, donc les droites sont non coplanaires puisque les vecteurs directeurs des deux droites ne sont pas colinéaires.