Sujet national, juin 2016, exercice 1

Énoncé

6 points
Partie A
Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées.
La chaîne A produit 40 % des composants et la chaîne B produit le reste.
Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20 % des composants présentent ce défaut alors qu'en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5 %.
On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.
On note :
– A l'événement « le composant provient de la chaîne A » ;
– B l'événement « le composant provient de la chaîne B » ;
– S l'événement « le composant est sans défaut ».
1. Montrer que la probabilité de l'événement S est P(S) = 0,89.
Appliquez la formule des probabilités totales.
2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu'il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à 10−2 près.
Appliquez la formule des probabilités conditionnelles.
Partie B
Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d'augmenter la proportion p de composants sans défaut.
Afin d'estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.
Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92.
1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95 %.
Appliquez la formule de l'intervalle de confiance.
2. Quelle devrait être la taille minimum de l'échantillon pour qu'un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ?
Calculez l'amplitude L de l'intervalle et résoudre L inférieur ou égal 0,02.
Partie C
La durée de vie, en années, d'un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (où λ est un nombre réel strictement positif).
On note f la fonction densité associée à la variable aléatoire T. On rappelle que :
– pour tout nombre réel x supérieur ou égal 0, f(x)=\lambda e^{-\lambda x} ;
– pour tout nombre réel a supérieur ou égal 0, P (T inférieur ou égal a\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d}x.
1. La courbe représentative Ensemble C de la fonction f est donnée ci-dessous.
Sujet national, juin 2016, exercice 1 - illustration 1
a) Interpréter graphiquement où P(Tinférieur ou égal a) où a > 0.
Interprétez la probabilité donnée sous forme d'intégrale, puis l'intégrale trouvée sous forme d'aire.
b) Montrer que pour tout nombre réel t supérieur ou égal 0 : P(T inférieur ou égal t) = 1-\mathrm{e}^{-\lambda t}.
Exprimez la probabilité recherchée sous forme d'une intégrale, puis recherchez une primitive de f.
c) En déduire que \lim_{t\rightarrow +\infty } P(T inférieur ou égalt) = 1.
Utilisez la limite usuelle : \lim_{u\rightarrow -\infty } e^{u}=0.
2. On suppose que P(T inférieur ou égal 7) = 0,5. Déterminer λ à 10−3 près.
Il faut utiliser le résultat du 1. b) puis résoudre l'équation obtenue.
3. Dans cette question on prend λ = 0,099 et on arrondit les résultats des probabilités au centième.
a) On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.
Déterminez la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.
Traduisez l'énoncé sous la forme d'une probabilité utilisant la variable aléatoire T, puis utilisez les résultats des questions précédentes.
b) On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans.
Déterminez la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.
Souvenez-vous du cours : la loi exponentielle est « sans mémoire ». Puis utilisez le C. 3. a).
c) Donner l'espérance mathématique E(T) de la variable aléatoire T à l'unité près.
Interprétez ce résultat.
Question de cours : vous devez savoir comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.

Corrigé

Partie A
1. D'après la formule des probabilités totales on obtient :
\mathit{P} (\mathit{S})= \mathit{P}(\mathit{A}\cap \mathit{S})+\mathit{P}(\mathit{B}\cap \mathit{S})= 0,32+0,57= 0,89.
2 D'après la formule des probabilités conditionnelles, on obtient :
P_{S}(A)= \frac{P(A\cap S)}{P(S)}= \frac{0,32}{0,89}.
Une valeur approchée à 102 près est donc égale à 0,36.
Partie B
1. Puisque n = 400 supérieur ou égal 30, nf = 400 × 0,92 = 368 supérieur ou égal 5 et n(1-f) = 400 × 0,08 = 32 supérieur ou égal 5, les conditions d'application d'un intervalle de confiance sont vérifiées.
Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, de la proportion de personnes favorables au projet est alors, d'après le cours, égal à :
\left [f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}} \right ]= \left [ 0,92-\frac{1}{\sqrt{400}};0,92+\frac{1}{\sqrt{400}} \right ]= \left [ 0,87;0,97 \right ].
2. On rappelle que l'amplitude L d'un intervalle \left [ a;b \right ] est L = b − a, ici donc, L= f+\frac{1}{\sqrt{n}}-f+\frac{1}{\sqrt{n}}= \frac{2}{\sqrt{n}}.
On recherche donc n tel que \frac{2}{\sqrt{n}}\leq 0,02= \frac{2}{100} soit \sqrt{n}supérieur ou égal 100 et n supérieur ou égal 10 000.
Partie C
1. 
a) Par définition et le fait que la variable aléatoire T suit une loi exponentielle, P(Tinférieur ou égala) = \int_{0}^{a}f(x)dx.
Et finalement P(T\leq a) représente l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équation x = 0 et x = a.
b)  P(T\leq t)= \int_{0}^{t}f(x)dx, or une primitive de f telle que f(x)= \lambda e^{-\lambda x} est la fonction F définie par F(x)= -e^{-\lambda x}.
Par suite, P(T\leq t)= \int_{0}^{t}f(x)dx= F(t)-F(0)= -e^{-\lambda t}+1.
c)  \lim_{u \to -\infty }e^{u}= 0 et \lim_{t \to +\infty }-\lambda t= -\infty, puisque \lambda > 0, on en déduit donc que \lim_{t \to +\infty }e^{-\lambda t}= 0 et finalement, \lim_{t \to +\infty }P(T\leq t)= 1.
2. D'après le C. 1. b) P(T\leq t)= 1-e^{-\lambda t}, d'où 1-e^{-7\lambda }= 0,5 et e^{-7\lambda }= 0,5 soit \lambda = \frac{\mathrm{ln}(2)}{7}.
Une valeur approchée de λ à 10−3 près est donc de 0,099.
3. 
a) La probabilité recherchée est P(T\geq 5)= 1-P(T\leq 5).
Or, d'après le C. 1. b) :
P(T\leq t)= 1-e^{-\lambda t}, donc P(T\geq 5)= 1-P(T\leq 5)= 1-(1-e^{-5\lambda })= e^{-5\times 0,099}.
L'arrondi au centième de P(T supérieur ou égal 5) est donc égal à 0,61.
b) D'après le cours, nous savons que la loi exponentielle est « sans mémoire », c'est-à-dire que si T suit une loi exponentielle, alors :
P_{X\geq t}(X\geq t+h)= P(X\geq h).
Or, la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans, sachant qu'il fonctionne encore au bout de 2 ans, correspond à :
P_{X\geq 2}(X\geq 5+2)= P(X\geq 5).
D'après la question C. 3. a) on en déduit que l'arrondi au centième de la probabilité demandée est donc égal à 0,61.
c) Nous savons que l'espérance d'une variable aléatoire T suivant une loi exponentielle de paramètre λ est E(T) = \frac{1}{\lambda }.
Or, ici, λ = 0,099 donc E(T) = \frac{1}{0,099}\frac{1000}{99}.
L'arrondi à l'unité de E(T) est donc égal à 10.
Cela signifie que la durée de vie moyenne d'un tel composant électronique est d'environ 10 années.