Sujet national, juin 2015, exercice 3

Énoncé

5 points
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.
1. 
Résoudre dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue z :
z2 − 8z + 64 = 0
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O\,;\, \vec{u}, \vec{v}).
Calculez le discriminant de l'équation du second degré donnée.
2. 
On considère les points A, B et C d'affixes respectives a\, = \,4\,+\,4\mathrm{i}\sqrt{3}, b\, = \,4\,-\,4\mathrm{i}\sqrt{3} et c\, = \,8\mathrm{i}.
a) 
Calculer le module et un argument du nombre a.
Appliquez la formule permettant de calculer le module d'un nombre complexe puis factorisez par ce même module pour faire apparaître un argument usuel.
b) 
Donner la forme exponentielle des nombres a et b.
Déduisez la forme exponentielle de a du 2.a) puis utilisez le fait que b est le conjugué de a.
c) 
Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle C de centre O dont on déterminera le rayon.
Vérifiez la valeur du module des complexes a, b et c.
d) 
Placer les points A, B et C dans le repère (O\,;\, \vec{u}, \vec{v}).
Placez le point C, tracez le cercle de centre O passant par C. Tracer la droite verticale d'équation x = 4, elle recoupe le cercle précédent en A et B.
Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2.d) complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
3. On considère les points A', B' et C' d'affixes respectives a'\, = \,a\,e^{\mathrm{i}^\frac{\pi}{3}}, b'\, = \,b\,e^{\mathrm{i}^\frac{\pi}{3}} et c'\, = \,c\,e^{\mathrm{i}^\frac{\pi}{3}}.
a) 
Montrer que b' = 8.
Utilisez les formes exponentielles vues au 2. b).
b) 
Calculer le module et un argument du nombre a'.
Utilisez le cours sur l'argument du produit de deux nombres complexes.
Pour la suite on admet que a'\, = \,-4\,+\,4\mathrm{i}\sqrt{3} et c'\, = \,-\,4\sqrt{3}\,+\,4\,\mathrm{i}.
4. On admet que si M et N sont deux points du plan d'affixes respectives m et n, alors le milieu I du segment [MN] a pour affixe \frac{m+n}{2} et la longueur MN est égale à | n-m| .
a) 
On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A'B] , [B'C] et [C'A].
Calculer r et s. On admet que t\, = \,2\,-\,2\sqrt{3}+\mathrm{i}(2\,+\,2\sqrt{3}).
Appliquez la formule donnant l'affixe du milieu d'un segment connaissant les affixes des points extrémités du segment.
b) 
Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier ce résultat.
Le triangle RST semble être équilatéral. Pour le prouver, on calcule les longueurs des trois côtés.

Corrigé

1. Calculons le discriminant de l'équation z^2-8z\,+\,64\, = \,0.
\Delta = 64 - 4 \times 64 = -3 \times 64 <0, -\Delta = 3\times 64 et \sqrt{-\Delta} = 8\sqrt{3}.
L'équation admet donc les deux solutions complexes conjuguées suivantes :
a = \frac{8+8\mathrm{i}\sqrt{3}}{2} = 4+4\mathrm{i}\sqrt{3} et b = 4-4\mathrm{i}\sqrt{3}.
2. 
a)  \vert a\vert^2 = \vert 4+4\mathrm{i}\sqrt{3}\vert^2 = 64, donc \vert a\vert = 8.
Par suite, a = 8\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 8e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}.
Un argument de a est donc égal à \frac{\pi}{3}.
b) On vient de trouver que a=8e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}} et puisque que b est le conjugué de a, on en déduit que b=8e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}
c) Puisque a, b et c ont le même module égal à 8, cela signifie que les points A, B et C appartiennent tous les trois au cercle de centre O et de rayon 8.
d. Voir figure en annexe.
3) 
a.  b' = be^{\mathrm{i}\frac\pi3} = 8e^{-\mathrm{i}\frac\pi3}\times e^{\mathrm{i}\frac\pi3} = 8.
b) L'argument du produit de deux nombres complexes est égal à la somme des arguments de chacun de ces nombres.
Donc un argument de a est égal à \frac{2\pi}{3}.
4. 
a)  r = \frac{a'+b}{2} = \frac{-4+4\mathrm{i}\sqrt{3}+4-4\mathrm{i}\sqrt{3}}{2} = 0.
s=\frac{b'+c}{2} = \frac{8+8\mathrm{i}}{2} = 4+4\mathrm{i}.
Il est admis dans l'énoncé que t\, = \,2\,-\,2\sqrt{3}\,+\,\mathrm{i}\left(2\,+\,2\sqrt{3}\right).
b) Le triangle RST semble être équilatéral.
RS^2 = \vert s-r \vert^2=\vert 4+4\mathrm{i} \vert^2 = 32.
ST^2 = \vert t-s \vert^2 = \vert -2-2\sqrt{3}+\mathrm{i}\left(-2+2\sqrt{3}\right) \vert^2 = \left(2+2\sqrt{3}\right)^2+\left (-2+2\sqrt{3}\right)^2 = 32.
RT^2 = \vert t \vert^2 = \left(2-2\sqrt{3}\right)^2+\left(2+2\sqrt{3}\right)^2 = 32.
RS=ST=RT=4\sqrt{2}. Le triangle RST est donc équilatéral.