Sujet national, juin 2015, exercice 2

Énoncé

3 points
Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d'unité 1 cm, on considère les points A(0 ; -1 ; 5), B(2 ; -1 ; 5), C(11 ; 0 ; 1), D(11 ; 4 ; 4).
Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde.
Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde.
À l'instant t = 0 le point M est en A et le point N est en C.
On note Mt et Nt les positions des points M et N au bout de t secondes, t désignant un nombre réel positif.
On admet que Mt et Nt ont pour coordonnées : Mt(t ; -1 ; 5) et Nt(11 ; 0,8 t ; 1 + 0,6 t).
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
1. 
a) 
La droite (AB) est parallèle à l'un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?
Il suffit de calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{AB}} et de le comparer aux vecteurs \overrightarrow{\mathrm{OI}}, \overrightarrow{\mathrm{OJ}} et \overrightarrow{\mathrm{OK}}.
b) 
La droite (CD) se trouve dans un plan P parallèle à l'un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel ? On donnera une équation de ce plan P.
Comparez les coordonnées des points C et D.
c) 
Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan P, coupe ce plan au point E(11 ; -1 ; 5).
Montrez que E appartient à P puis, par exemple, que le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AE}} est un vecteur normal de P.
d) 
Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?
Vérifiez que les droites ne sont pas parallèles, puis déterminez les représentations paramétriques des droites (AB) et (CD) et recherchez les points d'intersection entre ces deux droites.
2. 
a) 
Montrer que MtNt2 = 2 t2 − 25,2 t + 138.
Appliquez la formule donnant la longueur d'un segment dans l'espace.
b) 
À quel instant t la longueur MtNt est-elle minimale ?
Posez MtNt2 = f(t), puis étudiez les variations de la fonction f.

Corrigé

1. 
a) \overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=2\overrightarrow{\mathrm{OI}}, donc (AB) est parallèle à l'axe (OI).
b) Les points C et D ayant la même abscisse égale à 11, la droite (CD) est donc incluse dans le plan P d'équation x = 11, parallèle au plan (OJK).
c) E appartient au plan P puisque xE = 11. Il suffit donc de montrer que le vecteur \overrightarrow{\mathrm{AE}} est un vecteur normal de P.
Or, \overrightarrow{\mathrm{AE}}\begin{pmatrix}11\\0\\0\end{pmatrix}, ce qui prouve que c'est bien un vecteur normal et finalement E est bien le point d'intersection de (AB) avec P.
d) Une représentation paramétrique de la droite (AB) est par exemple :
\left\{\begin{array}{l}x=t\\y=-1\\z=5\end{array}\right. , avec t réel quelconque.
Une représentation paramétrique de la droite (CD) est par exemple :
\left\{\begin{array}{l}x=11\\y=0,8t'\\z=1+0,6t'\end{array}\right., avec t' réel quelconque.
En résolvant le système, on trouve une valeur négative pour t' au niveau des y et une valeur positive de t' au niveau des z.
Les droites ne sont donc pas sécantes puisque le système n'admet aucune solution.
2. 
a) En utilisant la formule donnant la longueur d'un segment dans l'espace, on obtient :
M_tN_t^2=(11-t)^2+(0,8t+1)^2+(0,6t-4)^2 ;
M_tN_t^2=121-22t+t^2+0,64t^2+1,6t+1+0,36t^2-4,8t+16,
soit M_tN_t^2\,=\,2t^2-25,2t+138 ;
M_tN_t^2=121-22t+t^2+0,64t^2+1,6t+1+0,36t^2-4,8t+16,
soit M_tN_t^2\, = \,2t^2-25,2t+138.
b) Soit f(t)=M_tN_t^2=2t^2-25,2t+138, f est une fonction du second degré admettant un minimum puisque le coefficient de t^2 est 2 < 0.
Ce minimum est atteint pour t=\frac{25,2}{4}=6,3.