Sujet national, juin 2015, exercice 1

Énoncé

6 points
Les résultats des probabilités seront arrondis à 10-3 près.
Partie 1
1. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \lambda, où \lambda est un réel strictement positif donné.
On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction f définie sur [0\,; \,+\infty[ par f(x)\,=\,\lambda\,e^{-\lambda{x}}.
a) 
Soit c et d deux réels tels que 0 inférieur ou égal c inférieur ou égal d.
Démontrer que la probabilité P(c\,\le\,X\,\le\,d) vérifie P(c\,\le\,X\,\le\,d)\,=\,e^{- {\lambda}c}\,-\,e^{\lambda{d}}.
Revenez à la définition d'une loi continue basée sur le calcul intégral.
b) 
Déterminer une valeur de λ à 10-3 près de telle sorte que la probabilité P(X > 20) soit égale à 0,05.
Interprétez P(X > 20) sous la forme d'une intégrale puis résoudre l'équation d'inconnue \lambda obtenue.
c) 
Donner l'espérance de la variable aléatoire X.
Appliquez la formule du cours.
Dans la suite de l'exercice on prend \lambda\,=\,0,15.
d) 
Calculer P(10 inférieur ou égal X inférieur ou égal 20).
Utilisez le résultat du 1. a).
e) 
Calculer la probabilité de l'événement (X > 18).
Utilisez l'événement contraire puis le calcul intégral.
2. 
Soit Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 16 et d'écart-type 1,95.
a) Calculer la probabilité de l'événement (20 inférieur ou égal Y inférieur ou égal 21).
b) 
Calculer la probabilité de l'événement (Y < 11) \cup (Y > 21).
Utilisez votre calculatrice.
Partie 2
Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.
Les bons d'achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici.
De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici.
1. 
Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros sachant qu'il est rouge.
Mobilisez la formule des probabilités conditionnelles. Vous pouvez vous appuyer sur un arbre.
2. 
Montrer qu'une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros vaut 0,057.
Pour la question suivante, on utilise cette valeur.
Mobilisez la formule des probabilités totales.
3. 
Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à 30 euros.
Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.
Ses doutes sont-ils justifiés ?
Utilisez la formule donnant l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.

Corrigé

Partie 1
1.a) Par définition,
P(c\leq X\leq d)=\int_c^df(x)\text{d}x=\int_c^d\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}=\left[-\mathrm{e}^{-\lambda x}\right]_c^d=-\mathrm{e}^{-\lambda d}-\left(-\mathrm{e}^{-\lambda c}\right).
Et finalement :
P(c\leq X\leq d)={\mathrm{e}^{-\lambda c}-\mathrm{e}^{-\lambda d}}.
b) P(X > 20)= 0,05=1-P(0\leq X\leq 20).
Donc, P(0\leq X\leq 20)=0,95.
D'où \mathrm{e}^{-\lambda\times 0}-\mathrm{e}^{-\lambda\times 20}=0,95 ;
\Leftrightarrow 1-\mathrm{e}^{-20\lambda}=0,95 ;
\Leftrightarrow \mathrm{e}^{-20\lambda}=0,05 ;
\Leftrightarrow -20\lambda=\ln 0,05 ;
\Leftrightarrow \lambda=\frac{\ln 0,05}{-20} \approx 0,150.
c) D'après le cours, nous savons que l'espérance d'une loi exponentielle de paramètre \lambda est égale à \frac{1}{\lambda}, donc ici on a E(X)=\frac{1}{\lambda}\approx 6,676.
d) D'après le 1.a), on a P(10 \leq X \leq 20)=\mathrm{e}^{-10\lambda}-\mathrm{e}^{-20\lambda}=\mathrm{e}^{-1,5}-\mathrm{e}^{-3}\approx 0,173.
e. P(X > 18) = 1-P(0\leq X\leq 18)=\mathrm{e}^{-18\lambda}=\mathrm{e}^{-27}\approx 0,067.
2. a) En utilisant la calculatrice, on trouve : P(20 \leq Y \leq 21)\approx 0,015.
b) En utilisant la calculatrice, on trouve :
P((Y \le 11) \cup (Y \ge 21)) = 1-P(11\leq Y\leq 21)\approx 0,010.
Partie 2
1. Nous devons calculer P_R(S) si on désigne par R l'événement le bon d'achat est rouge, par V l'événement le bon d'achat est vert, par T l'événement avoir un bon d'achat de 30 euros, par C celui d'avoir un bon d'achat de 100 euros, par A celui d'avoir un bon d'achat d'une autre valeur et par S celui d'avoir un bon d'achat d'un montant supérieur ou égal à 30 euros.
D'où, en appliquant la formule des probabilités conditionnelles :
P_R(S)=P_R(T\cup C)=p_R(T)+P_R(C)=0,015+0,010=0,025.
2. En utilisant la formule des probabilités totales, on obtient :
P(S)\ = P(R\cap S)+P(V\cap S)=0,75\times 0,067+0,25\times 0,025\ = 0,0566\approx 0,057.
3. La fréquence observée de l'échantillon est f=\frac{6}{200}=\frac{3}{100}=0,03.
La taille de l'échantillon est n=200.
On a n=200\geq 30, np=11,4\geq 5 et n(1-p)=188,6\geq 5.
On peut donc utiliser la formule donnant l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.
I_{200}=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\times \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]\approx [0,02; 0,09].
f=0,03\in I.
On peut donc affirmer que les doutes du directeur du magasin ne sont donc pas justifiés au seuil de confiance de 95 %.