Sujet national, juin 2014, exercice de spécialité


Énoncé

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Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l'élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :
  • il vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;
  • la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A. Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus 200 poissons pour le bassin A et 100 poissons pour le bassin B.
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, on note respectivement an et bn les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de n années. En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est a0 = 200 et celui du bassin B est b0 = 100.
1. Justifier que a1 = 400 et b1 = 300 puis calculer a2 et b2.
2. 
On désigne par A et B les matrices telles que A = \left(\begin{matrix}0 \qquad 2 \cr 1 \qquad 0\end{matrix}\right) et B = \left(\begin{matrix}200\cr 100\end{matrix}\right) et pour tout entier naturel n, on pose Xn = \left(\begin{matrix}a_{n}\cr b_{n}\end{matrix}\right).
a) Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, Xn+1 = AXn + B.
b) Déterminer les réels x et y tels que \left(\begin{matrix}x\cr y\end{matrix}\right) = A\left(\begin{matrix}x\cr y\end{matrix}\right) + B.
c) Pour tout entier naturel n, on pose Yn = \left(\begin{matrix}a_{n}\,+\,400\cr b_{n}\,+\,300\end{matrix}\right).
Démontrer que pour tout entier naturel n, Yn+1 = AYn.
3. 
Pour tout entier naturel n, on pose Zn = Y2n.
a) Démontrer que pour tout entier naturel n, Zn+1 = A2Zn. En déduire que pour tout entier naturel n, Zn+1 = 2Zn.
b) On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel n, Y2n = 2nY0.
En déduire que Y2n+1 = 2nY1 puis démontrer que pour tout entier naturel n,
a2n = 600 × 2n - 400 et a2n+1 = 800 × 2n-400.
4. 
Le bassin A a une capacité limitée à 10 000 poissons.
a) 
On donne l'algorithme suivant.
Variables : a, p et n sont des entiers naturels.
Initialisation : demander à l'utilisateur la valeur de p.
Traitement : si p est pair
Affecter à n la valeur \frac{p}{2}
Affecter à a la valeur 600 × 2n − 400.
Sinon :
Affecter à n la valeur \frac{p - 1}{2}
Affecter à a la valeur 800 x 2n − 400.
Fin de Si.
Sortie : afficher a.
Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.
b) Écrire un algorithme qui affiche le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.

Annexes

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