Sujet national, juin 2014, exercice de spécialité

Énoncé

5 points
Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l'élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :
  • il vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;
  • la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A. Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus 200 poissons pour le bassin A et 100 poissons pour le bassin B.
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, on note respectivement an et bn les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de n années. En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est a0 = 200 et celui du bassin B est b0 = 100.
1. Justifier que a1 = 400 et b1 = 300 puis calculer a2 et b2.
2. 
On désigne par A et B les matrices telles que A = \left(\begin{matrix}0 \qquad 2 \cr 1 \qquad 0\end{matrix}\right) et B = \left(\begin{matrix}200\cr 100\end{matrix}\right) et pour tout entier naturel n, on pose Xn = \left(\begin{matrix}a_{n}\cr b_{n}\end{matrix}\right).
a) Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, Xn+1 = AXn + B.
b) Déterminer les réels x et y tels que \left(\begin{matrix}x\cr y\end{matrix}\right) = A\left(\begin{matrix}x\cr y\end{matrix}\right) + B.
c) Pour tout entier naturel n, on pose Yn = \left(\begin{matrix}a_{n}\,+\,400\cr b_{n}\,+\,300\end{matrix}\right).
Démontrer que pour tout entier naturel n, Yn+1 = AYn.
3. 
Pour tout entier naturel n, on pose Zn = Y2n.
a) Démontrer que pour tout entier naturel n, Zn+1 = A2Zn. En déduire que pour tout entier naturel n, Zn+1 = 2Zn.
b) On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel n, Y2n = 2nY0.
En déduire que Y2n+1 = 2nY1 puis démontrer que pour tout entier naturel n,
a2n = 600 × 2n - 400 et a2n+1 = 800 × 2n-400.
4. 
Le bassin A a une capacité limitée à 10 000 poissons.
a) 
On donne l'algorithme suivant.
Variables : a, p et n sont des entiers naturels.
Initialisation : demander à l'utilisateur la valeur de p.
Traitement : si p est pair
Affecter à n la valeur \frac{p}{2}
Affecter à a la valeur 600 × 2n − 400.
Sinon :
Affecter à n la valeur \frac{p - 1}{2}
Affecter à a la valeur 800 x 2n − 400.
Fin de Si.
Sortie : afficher a.
Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.
b) Écrire un algorithme qui affiche le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.

Corrigé

1. Puisque b_0=100, le pisciculteur vend ces 100 poissons et la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A, donc cela fait 200 poissons supplémentaires dans le bassin A.
Par ailleurs, le bassin A est vidé de ses 200 poissons initiaux mais le pisciculteur achète en plus 200 poissons pour le bassin A.
Donc, finalement, a_1=2b_0+200=400.
Le pisciculteur vide le bassin B et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B, ce qui fait 200 poissons dans le bassin B.
Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus 100 poissons pour le bassin B.
Donc, finalement, b_1=a_0+100=300.
Un raisonnement analogue nous conduit à a_2=2b_1+200=600+200=800, et b_2=a_1+100=500.
De même on obtient : a_{n+1} = 2b_n+200 et b_{n+1}=a_n+100.
2. 
a) AX_n+B = \begin{pmatrix}2b_n \\\\a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}200\\\\100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2b_n+200 \\\\a_n + 100 \end{pmatrix} =X_{n+1}.
b) On cherche les valeurs de x et de y telles que:
\begin{cases} x=2y+200 \\\\y=x+100 \end{cases} soit \begin{cases} x=2y+200 \\\\y=2y+200+100 \end{cases}.
D'où \begin{cases} x=2y+200 \\\\ y=-300\end{cases} et finalement x=-400 et y=-300.
c) Y_{n+1}= \begin{pmatrix} a_{n+1}+400 \\\\b_{n+1}+300 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2b_n+200 + 400 \\\\a_n+100 + 300 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2b_n + 600) \\\\a_n + 400 \end{pmatrix} =AY_n.
3. 
a) Z_{n+1} = Y_{2(n+1)} = Y_{2n+2} = AY_{2n+1} = A^2Y_{2n} = A^2Z_n.
Or, grâce à la calculatrice, ou en faisant le calcul directement en appliquant les règles de multiplication des matrices, on obtient que A^2 = 2I, d'où finalement Z_{n+1} = A^2Z_n=2I\times Z_n=2Z_n.
b) Y_{2n+1} = AY_{2n}=2^nAY_0= 2^nY_1.
Mais Y_0 = \begin{pmatrix} 600\\\\400 \end{pmatrix}, donc Y_{2n} = \begin{pmatrix} a_{2n} + 400\\\\b_{2n}+300 \end{pmatrix} = 2^n \begin{pmatrix} 600\\\\400 \end{pmatrix} et par suite :
a_{2n} = 600 \times 2^n - 400.
De même, Y_1 = \begin{pmatrix} 800\\\\600 \end{pmatrix}, donc Y_{2n+1} = \begin{pmatrix} a_{2n+1} + 400\\\\b_{2n+1}+300 \end{pmatrix} = 2^n \begin{pmatrix} 800\\\\600 \end{pmatrix}.
Finalement, a_{2n+1} = 800 \times 2^n - 400.
4. 
a) Si p est pair, alors il existe un entier naturel n tel que p=2n et l'algorithme permet de calculer la population du bassin A au bout de 2n années soit, comme vu précédemment, a_{2n} = 600 \times 2^n - 400.
Si p est impair, alors p=2n+1 et l'algorithme permet de calculer la population du bassin A au bout de 2n + 1 années soit, comme vu précédemment :
a_{2n+1} = 800 \times 2^n - 400.
Dans tous les cas on calcule la population du bassin A au bout de p années.
b) Variables : a, p et n sont des entiers naturels.
Initialisation : p prend la valeur 0 et a prend la valeur 200.
Traitement : tant que a\leq 10 000
Affecter à p la valeur p + 1
Si p est pair
Affecter à n la valeur \dfrac{p}{2}.
Affecter à a la valeur 600 \times 2^n - 400.
Sinon
Affecter à n la valeur \dfrac{p - 1}{2}.
Affecter à a la valeur 800 \times 2^n - 400.
Fin de Si.
Fin de Tant que.
Affecter à p la valeur p − 1.
Sortie : afficher p.