Sujet national, juin 2014, exercice 3

Énoncé

5 points
On désigne par (E) l'équation z^4 + 4z^2 + 16 = 0 d'inconnue complexe z.
1. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation Z^2 +4Z + 16 = 0.
Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle.
Pour résoudre l'équation (F) : Z^2 +4Z + 16 = 0, calculez son discriminant \Delta, puis déterminez ses deux solutions complexes conjuguées Z_1 et Z_2.
2. On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à \frac{\pi}{3}.
Calculer a^2 sous forme algébrique.
En déduire les solutions dans \mathbb{C} de l'équation z^2 = -2 + 2i\sqrt{3}. On écrira les solutions sous forme algébrique.
Établissez le lien entre a^2 et Z_2.
3. Restitution organisée de connaissances
On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z = x +i yx\in \mathbb{R} et y \in\mathbb{R}, le conjugué de z est le nombre complexe \bar{z} défini par \bar{z} = x - i y.
Démontrer que :
  • pour tous nombres complexes z_1 et z_2, \overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}} \overline{z_{2}} ;
  • pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, \overline{z^{n}} = (\overline{z})^{n}.
4. Démontrer que si z est une solution de l'équation (E) alors son conjugué \overline{z} est également une solution de (E).
En déduire les solutions dans \mathbb{C} de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.
Remplacez z par \overline{z} dans l'équation (E) et concluez.

Corrigé

1.  Pour résoudre l'équation (F) : Z^2 +4Z + 16 = 0, on va d'abord calculer son discriminant \Delta = 4^2 - 4 \times 16 \times 1 =-48 < 0, donc l'équation (F) admet donc deux solutions complexes conjuguées Z_1 et Z_2 :
Z_1 = \frac{-4 + i\sqrt{48}}{2} = -2 +2i\sqrt{3}=4\left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=4e^{\frac{2i\pi}{3}} et Z_2 = \overline{Z_1}=4e^{\frac{-2i\pi}{3}}.
2. a^2 = 2^2e^{\frac{2i\pi}{3}}=-2 +2i\sqrt{3}=Z_2.
Les solutions de l'équation z^2 = -2 +2i\sqrt{3} sont donc a=1+i\sqrt{3} et -a=-1-i\sqrt{3}.
3. \overline{z_1z_2} = \overline{(x_1+i y_1)(x_2+i y_2)}=\overline{(x_1x_2-y_1y_2+i x_1y_2+i y_1x_2} =x_1x_2-y_1y_2-i(x_1y_2+x_2y_1).
Par ailleurs, \overline{z_1}\cdot \overline{z_2} = (x_1 - i y_1)(x_2 - i y_2)= x_1x_2 - y_1y_2 - i(x_1y_2+x_2y_1) =\overline{z_1z_2}.
On désigne par P(n) la propriété suivante : \overline{z^n}=(\overline{z})^n.
On va démontrer que P(n) est vraie pour tout n par récurrence.
Initialisation
Pour n=1 on a bien \overline{z^1}=\overline{z}=(\overline{z})^1.
Hérédité
Supposons P(n) vraie au rang n et montrons alors que P(n+1) est vraie.
\overline{z^{n+1}}=\overline{z^n\times z}=\overline{z^n}\times\overline{z}, d'après le résultat précédent. Mais puisque \overline{z^n}=(\overline{z})^n alors, \overline{z^n}\times\overline{z}=(\overline{z})^n\times\overline{z}=(\overline{z})^{n+1}, la propriété est donc vraie au rang n+1 et l'hérédité est établie.
D'après le principe de récurrence, puisque initialisation et hérédité sont vérifiées, P(n) est vraie pour tout n entier naturel.
4. Soit z une solution de (E), alors on obtient :
\overline{z}^4 + 4\overline{z}^2 + 16 = \overline{z^4}+4\overline{z^2}+16 = \overline{z^4+4z^2+16} = 0.
Ce qui revient à dire que \overline{z} est solution de l'équation (E).
Les solutions de (E) sont donc : -1-i\sqrt{3}, -1+i\sqrt{3}, 1-i\sqrt{3} et 1+i\sqrt{3}.