Sujet national, juin 2014, exercice 1

Énoncé

5 points
Partie A
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on désigne par \mathcal{C}_1 la courbe représentative de la fonction f_1 définie sur \mathbb{R} par :
f_1(x) = x + \mathrm{e}^{-x}.
1. Justifier que \mathcal{C}_1 passe par le point A de coordonnées (0\ ;\ 1).
Utilisez la propriété suivante : un point M de coordonnées x et y appartient à une courbe C_f, si et seulement si y=f(x).
2. Déterminer le tableau de variation de la fonction f_1. On précisera les limites de f_1 en +\infty et en -\infty.
Pour la dérivation, utilisez la formule : (\mathrm{e}^u)'=u'\mathrm{e}^u si u est une fonction dérivable.
Pour les limites, utilisez les limites usuelles et dans le cas de la forme indéterminée considérez cette limite : \displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x\mathrm{e}^x=0}.
Partie B
L'objet de cette partie est d'étudier la suite (I_n) définie sur \mathbb{R}, par : I_n =\int^{1}_{0}(x + \mathrm{e}^{-nx})\mathrm{d}x.
1. 
Dans le plan muni d'un repère orthonorme (\mathrm{O}\ ;\ \vec{i},\ \vec{j}), pour tout entier naturel n, on note \mathcal{C}_n la courbe représentative de la fonction f_n définie sur \mathbb{R} par f_n(x) =x +\mathrm{e}^{-nx}.
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe \mathcal{C}_n pour plusieurs valeurs de l'entier n et la droite \mathcal{D} d'équation x = 1.
Sujet national, juin 2014, exercice 1 - illustration 1
a) Interpréter géométriquement l'intégrale I_n.
D'après le cours, quand f > 0, \int_a^b f(x)\mathrm{d}x correspond, en unités d'aire, à l'aire du plan déterminé par le domaine suivant : a\leq x\leq b et 0\leq f(x).
b) En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (I_n) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer.
La conjecture sur les variations de la suite et sa limite se déduit d'une considération des aires.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :
I_{n+1} - I_n =\int^{1}_{0} \mathrm{e}^{-(n+1)x}(1 - e^x) \mathrm{d}x.
En déduire le signe de I_{n+1}-I_n puis démontrer que la suite (I_n) est convergente.
Mobilisez les propriétés de linéarité et de positivité de l'intégrale, puis le théorème de convergence.
3. Déterminer l'expression de I_n en fonction de n et déterminer la limite de la suite (I_n).
Recherchez une primitive de f_n puis la limite de l'intégrale obtenue.

Corrigé

Partie A
1. Pour montrer que \mathcal{C}_1 passe par le point A de coordonnées (0\ ;\ 1), il suffit de montrer que f_1(0)=1.
Or, f_1(0)=0+\mathrm{e}^0=0+1=1, \mathcal{C}_1 passe bien par le point A.
2. 
La fonction f_1 est dérivable sur \mathbb{R} en tant que somme de fonctions dérivables sur \mathbb{R}, et f'_1(x)=1-\mathrm{e}^{-x}.
Si x > 0, -x < 0, \mathrm{e}^{-x} < 1 et f'_1(x)=1-\mathrm{e}^{-x}>0.
De même, si x > 0, f'_1(x) < 0.
Par ailleurs, \displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f_1(x)=+\infty} puisque \displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0}.
En -\infty nous sommes en présence d'une forme indéterminée.
Mettons \mathrm{e}^{-x} en facteur : f_1(x)=\mathrm{e}^{-x}(x\mathrm{e}^x+1).
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty}.
Puisque \displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x\mathrm{e}^x=0}, \displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f_1(x)=+\infty}.
D'où le tableau de variation :
Sujet national, juin 2014, exercice 1 - illustration 2
Partie B
1. 
a) Puisque \mathrm{e}^x>0 pour tout x réel, sur [0\ ;\ 1], f_n(x) > 0 et l'intégrale I_n représente, en unités d'aire, l'aire délimitée par les droites verticales d'équation x=0 et x=1 l'axe des abscisses et la courbe \mathcal{C}_n.
b) La suite \left(I_n\right) semble être décroissante puisque les aires décroissent quand n augmente et sa limite semble être proche de \frac{1}{2}, aire correspondant au triangle rectangle isocèle valant la moitié de l'aire du carré de côté 1.
2. I_{n+1}-I_n=\int_0^1 \left(x + \mathrm{e}^{(- n-1)x}\right)\mathrm{d}x-\int_0^1 \left(x + \mathrm{e}^{-nx}\right)\mathrm{d}x ;
I_{n+1}-I_n=\int_0^1 \left(x + \mathrm{e}^{(- n-1)x}-x-\mathrm{e}^{-nx}\right)\mathrm{d}x ;
I_{n+1}-I_n= \int_{0}^1 \mathrm{e}^{-(n + 1)x} \left(1 - \mathrm{e}^x\right)\mathrm{d}x.
Puisque pour tout x réel, \mathrm{e}^{-(n + 1)x}>0 et, sur [0\ ;\ 1], 1 - \mathrm{e}^x\leq 0, I_{n+1}-I_n\leq 0 ce qui confirme bien la conjecture précédente : la suite \left(I_n\right) est décroissante.
f_n>0 donc I_n>0, la suite \left(I_n\right) décroissante et minorée par 0 est donc convergente d'après le théorème de convergence.
3. On désigne par F_n une primitive de f_n.
F_n(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{n}.
Par conséquent, I_n=F_n(1)-F_n(0)=\frac{1}{2}-\frac{\mathrm{e}^{-n}}{n}+\frac{1}{n}.
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\mathrm{e}^{-n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}=0}.
Donc \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}I_n=\frac{1}{2}}, ce qui confirme la conjecture précédente faite sur la limite de la suite \left(I_n\right).