Sujet national, juin 2013, exercice de spécialité

Énoncé

5 points
On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1er janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants dont 70 % résidaient à la campagne et 30 % en ville.
L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :
  • l'effectif de la population est globalement constant ;
  • chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.
Pour tout entier naturel n, on note v_n le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1er janvier de l'année (2013 + n) et c_n le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.
1. Pour tout entier naturel n, exprimez v_{n+1} et c_{n+1} en fonction de v_n et c_n.
Lisez attentivement la signification de v_n et c_n pour établir les expressions demandées.
2. Soit la matrice A\,=\,\left(\begin{matrix}{0,95}\quad{0,01}\cr {0,05}\quad{0,99}\end{matrix}\right). On pose X\,=\,\left(\begin{matrix}{a}\cr{b}\end{matrix}\right)a, b sont deux réels fixés et Y\,=\,AX. Déterminez, en fonction de a et b, les réels c et d tels que Y\,=\,\left(\begin{matrix}{c}\cr{d}\end{matrix}\right).
Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel n, X_{n+1}\,=\,AX_{n}X_{n}\,=\,\left(\begin{matrix}{v_{n}}\cr{c_{n}}\end{matrix}\right).
On peut donc en déduire que pour tout entier naturel n, X_n = A^n X_0.
Effectuez le produit matriciel de A par X.
3. 
Soient les matrices P\,=\,\left(\begin{matrix}{1}\quad{-1}\cr{5}\quad{1}\end{matrix}\right) et Q\,=\,\left(\begin{matrix}{1}\quad{1}\cr{-5}\quad{1}\end{matrix}\right).
a) Calculez PQ et QP. Vous devez en déduire la matrice P−1 en fonction de Q.
Le produit demandé vous donne la matrice identité multipliée par un réel, et en vous appuyant sur la définition de la matrice inverse, vous pouvez répondre à la question.
b) Vérifiez que la matrice P^{-1}AP est une matrice diagonale D que l'on précisera.
Effectuez d'abord le produit QA puis (QA)P et enfin divisez par 6.
c) Démontrez que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, A^n = PD^nP^{-1}.
Utilisez la démonstration par récurrence.
4. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que :
v_{n}\,=\,\frac{1}{6}\,(1\,+\,5\,\times\,0,94^{n})\,v_{0}\,+\,\frac{1}{6}\,(1\,-\,0,94^{n})\,c_{0}. Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?
Recherchez la limite de v_n en +\infty et donnez vos conclusions.

Corrigé

1. Chaque année, 5 % de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1 % de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.
On a donc pour tout entier naturel n :
v_{n+1}=0,95v_n+0,01c_n et c_{n+1}=0,05v_n+0,99c_n.
2. On a Y = AX, donc c, élément de Y situé sur la première ligne est obtenu, d'après la définition du produit matriciel, en multipliant scalairement la première ligne de A par la colonne de X, d'où :
c=0,95a+0,01b.
Et de même on déduit que d=0,05a+0,99b.
3. 
a) PQ= \left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 5 & 1 \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -5 & 1 \end{array}\right)
PQ=\left(\begin{array}{cc} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}\right) =6I_2.
QP= \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -5 & 1 \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 5 & 1 \end{array}\right)
QP=\left(\begin{array}{cc} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}\right) =6I_2.
Puisque PQ=QP=6I_2, P est inversible et P^{-1}=\frac{1}{6}Q.
b) En utilisant la calculatrice on déduit que P^{-1}AP=D=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0,94 \end{array}\right).
c) Démontrons, par récurrence, la propriété P(n) : A^n=PD^nP^{-1} pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1.
Initialisation : d'après ce qui précède, on sait que P^{-1}AP=D, d'où en multipliant chaque membre de l'égalité à gauche par P, puis à droite par P^{-1}, A=PDP^{-1}, P(1) est donc vraie.
Hérédité : supposons P(k) vraie pour un entier k supérieur ou égal à 1. Alors A^{k+1}=A^k\times A=PD^kP^{-1}\times PDP^{-1}=PD^{k+1}P^{-1}, la propriété P(k+1) est vraie.
Conclusion : d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier naturel n non nul.
4. Comme −1 < 0,94 < 1 alors :
\lim\limits_{n\to+\infty}0,94^n=0.
Donc la limite de (v_n) est égale à \frac{v_0+c_0}{6}. Or v0 + c0 = 250 000, donc (v_n) tend vers environ 41 667.
La population citadine sera, au bout d'un grand nombre d'années, d'environ 41 667 habitants.