Sujet national, juin 2013, exercice 4


Énoncé

4 points
Soit la suite numérique (u_n) définie sur \mathbb{N} par :
u0 = 2 et pour tout entier naturel n :
u_{n+1}\,=\,\frac{2}{3}\,u_{n}\,+\,\frac{1}{3}n\,+\,1.
1. 
a) Calculez u1, u2, u3 et u4. Vous pourrez en donner des valeurs approchées à 10−2 près.
Pour calculer u_i, remplacez dans la relation de récurrence de l'énoncé n par i.
b) Formulez une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
Le calcul précédent nous conduit immédiatement à la conjecture attendue.
2. 
a) Démontrez que pour tout entier naturel n, u_{n}\,\leqslant\,n\,+\,3.
Le calcul précédent nous conduit immédiatement à la conjecture attendue.
b) Démontrez que pour tout entier naturel n, u_{n+1}\,-\,u_{n}\,=\,\frac{1}{3}\,(n\,+\,3\,-\,u_{n}).
Le résultat de la question 2. a) permet de conclure.
c) Vous devez en déduire une validation de la conjecture précédente.
3. 
On désigne par (v_n) la suite définie sur \mathbb{N} par v_n = u_n − n.
a) Démontrez que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison \frac{2}{3}.
Démontrez que v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n.
b) Vous devez en déduire que pour tout entier naturel n, u_{n}\,=\,2\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\,+\,n.
La réponse se déduit de la relation de récurrence donnée au 3.
c) Déterminez la limite de la suite (u_n).
Si q\in]0;1[, q^n tend vers O.
4. 
Pour tout entier naturel non nul n, on pose : S_{n}\,=\,\Sigma^{n}_{k=0}\,u_{k}\,=\,u_{0}\,+\,u_{1}\,+\,\cdots\,+\,u_{n} et T_{n}\,+\,\frac{S_{n}}{n^{2}}.
a) Exprimez S^n en fonction de n.
Utilisez la somme des termes d'une suite géométrique.
b) Déterminez la limite de la suite (T_n).
Utilisez les propriétés des limites.

Annexes

© 2000-2019, rue des écoles