Sujet national, juin 2013, exercice 4

Énoncé

4 points
Soit la suite numérique (u_n) définie sur \mathbb{N} par :
u0 = 2 et pour tout entier naturel n :
u_{n+1}\,=\,\frac{2}{3}\,u_{n}\,+\,\frac{1}{3}n\,+\,1.
1. 
a) Calculez u1, u2, u3 et u4. Vous pourrez en donner des valeurs approchées à 10−2 près.
Pour calculer u_i, remplacez dans la relation de récurrence de l'énoncé n par i.
b) Formulez une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
Le calcul précédent nous conduit immédiatement à la conjecture attendue.
2. 
a) Démontrez que pour tout entier naturel n, u_{n}\,\leqslant\,n\,+\,3.
Le calcul précédent nous conduit immédiatement à la conjecture attendue.
b) Démontrez que pour tout entier naturel n, u_{n+1}\,-\,u_{n}\,=\,\frac{1}{3}\,(n\,+\,3\,-\,u_{n}).
Le résultat de la question 2. a) permet de conclure.
c) Vous devez en déduire une validation de la conjecture précédente.
3. 
On désigne par (v_n) la suite définie sur \mathbb{N} par v_n = u_n − n.
a) Démontrez que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison \frac{2}{3}.
Démontrez que v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n.
b) Vous devez en déduire que pour tout entier naturel n, u_{n}\,=\,2\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\,+\,n.
La réponse se déduit de la relation de récurrence donnée au 3.
c) Déterminez la limite de la suite (u_n).
Si q\in]0;1[, q^n tend vers O.
4. 
Pour tout entier naturel non nul n, on pose : S_{n}\,=\,\Sigma^{n}_{k=0}\,u_{k}\,=\,u_{0}\,+\,u_{1}\,+\,\cdots\,+\,u_{n} et T_{n}\,+\,\frac{S_{n}}{n^{2}}.
a) Exprimez S^n en fonction de n.
Utilisez la somme des termes d'une suite géométrique.
b) Déterminez la limite de la suite (T_n).
Utilisez les propriétés des limites.

Corrigé

1. 
a) On remplace n par 0 dans la relation de récurrence de l'énoncé et on obtient :
u_1 = \frac{2}{3}\times u_0+\frac{1}{3}\times0+1=\frac{7}{3} \approx2,33.
De même :
u_2 = \frac{2}{3}\times\frac{7}{3}+\frac13+1=\frac{26}{9} \approx2,89
u_3 = \frac{2}{3}\times\frac{26}{9}+\frac23+1=\frac{97}{27} \approx 3,59
u_4 = \frac{2}{3}\times\frac{97}{27}+\frac33+1=\frac{356}{81} \approx 4,40.
b) La suite semble être croissante.
2. 
a) On veut montrer par récurrence, pour tout entier naturel n, la propriété P_n : u_n \leq n+3.
Initialisation : puisque u_0 =2 et 0 + 3 = 3, P0 est bien vraie.
Hérédité : pour un entier naturel k donné, on suppose la propriété P^k vraie.
On a u_{k+1} = \frac23 u_k + \frac13 k+1.
Par hypothèse de récurrence : u_k \leq k+3, d'où :
\frac23 u_k \leq \frac23 k + 2
\frac23 u_k + \frac13 k + 1\leq \frac23 k +2+ \frac13 k + 1.
Et finalement, u_{k+1}\leq k+3\leq k+4.
La propriété P_{k+1} est donc vraie.
Conclusion : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, on a bien u_n \leq n+3.
b) u_{n+1}-u_n = \frac23 u_n + \frac13 n +1 - u_n
u_{n+1}-u_n = -\frac13 u_n + \frac13 n + \frac33
u_{n+1}-u_n = \frac13 \times (- u_n + n +3)
u_{n+1}-u_n = \frac13(n+3 - u_n).
c) Pour tout entier naturel n, on a u_n \leq n+3, soit n+3-u_n\geq0, donc u_{n+1}-u_n\geq 0. La suite (u_n) est bien croissante.
3. 
a) Exprimons, pour un entier n naturel quelconque, v_{n+1} en fonction de u_n :
v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1)
v_{n+1} = \frac23 u_n + \frac13 n +1 - n - 1
v_{n+1} = \frac23 u_n - \frac23 n
v_{n+1} = \frac23 (u_n - n).
D'où v_{n+1} = \frac23 v_n.
Ceci prouve que la suite (v_n) est bien un suite géométrique de raison q=\frac23 et de premier terme v_0 = u_0 - 0 = 2.
b) D'après le cours, on en déduit que :
v_n = v_0 \times q^n = 2\left(\frac23\right)^n.
Puisque v_n = u_n - n, on en déduit que u_n = v_n + n, et on aboutit à l'expression demandée : u_n = 2\left(\frac23\right)^n + n.
c) On a −1 < q < 1, on en déduit que la limite de la suite (v_n) est 0, la limite de la suite (u_n) est donc +\infty.
4. 
a) S_n=X_n+Y_n avec X_n=\sum_{k=0}^n v_k et Y_n=\sum_{k=0}^n k.
X_n=v_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}
X_n= 2\frac{1 - \left(\frac23\right)^{n+1}}{1 - \left(\frac23\right)}
X_n= 6 \times \left(1 - \left(\frac23\right)^{n+1}\right).
Y_n=\frac{0 + n}2 \times (n + 1) = \frac{n(n+1)}2.
Finalement, on a :
S_n = 6 \times \left(1 - \left(\frac23\right)^{n+1}\right) + \frac{n(n+1)}2.
b) T_n = \frac{6 \times \left(1 - \left(\frac23\right)^{n+1}\right) + \frac{n(n+1)}2}{n^2}
T_n =\frac{6 \times \left(1 - \left(\frac23\right)^{n+1}\right) }{n^2}+\frac{n^2 + n}{2n^2}
T_n = \frac{6 \times \left(1 - \left(\frac23\right)^{n+1}\right) }{n^2}+\frac12 + \frac{1}{2n}.
On a vu que \lim\limits_{n \to +\infty}{\left(\frac23\right)^{n+1} } = 0,
donc \lim\limits_{n\to+\infty}6 \times \left(1 - \left(\frac23\right)^{n+1}\right)=6.
Comme \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2}=0, par produit \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{6 \times \left(1 - \left(\frac23\right)^{n+1}\right) }{n^2}=0.
Enfin \lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{2n}=0, donc \lim\limits_{n\to+\infty}T_n=\frac{1}{2}.